到定點(diǎn)與定直線的距離差為定值的點(diǎn)的軌跡的探究

商軼瑋

(上海市北虹高級(jí)中學(xué) 200080)

一、提出問題

例題(滬教版高二下第12.7節(jié)) 動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(2,0)的距離比它到定直線x+4=0距離小2，求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程.

變式動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(2,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程.

反思經(jīng)歷了上述的錯(cuò)誤，很多同學(xué)再遇到類似的問題時(shí)，難免困惑——到定點(diǎn)與定直線的距離的差為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡到底是什么？何時(shí)才是一條拋物線？

二、探究過程

我們可以從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度來進(jìn)行分析.

1.幾何方法：不妨設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離為d1，到定直線l的距離為d2，定點(diǎn)F到定直線l的距離為d.

當(dāng)d1=d2時(shí)，由拋物線定義可知，點(diǎn)P的軌跡是一條拋物線(F?l)；或是一條過點(diǎn)F且垂直于l的直線(F∈l).

當(dāng)d10)，易知此時(shí)點(diǎn)F一定不在直線l上.(如下圖放置定點(diǎn)與定直線)

(1)若t

(2)若t=d，如圖1，可將直線l向右平移t個(gè)單位至直線l2，即動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和直線l2的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是以為定點(diǎn)F為端點(diǎn)一條垂直于l2的射線(方向向右)

(3)若t>d2，若將直線l向右平移t個(gè)單位，則“越過”了定點(diǎn)F，顯然不成立，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在.

當(dāng)d1>d2時(shí)，令d1-d2=t(t>0).

(1)若t

(2)若t=d，如圖3，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡既可以出現(xiàn)在直線l的右側(cè)，又可以出現(xiàn)在直線l的左側(cè).直線l右側(cè)的軌跡可將直線l向左平移t個(gè)單位至直線l1，所以在直線l的右側(cè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，以l1為準(zhǔn)線的一條拋物線(頂點(diǎn)為O).顯然，直線l左側(cè)的軌跡是一條以O(shè)為端點(diǎn)的向左的射線.綜上所述，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條拋物線加上一條射線.

(3)若t>d,如圖4，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡既可以出現(xiàn)在直線l的右側(cè)，又可以出現(xiàn)在直線l的左側(cè).對(duì)于直線l右側(cè)的軌跡，可以將直線l向左平移t個(gè)單位至直線l1，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，以l1為準(zhǔn)線的拋物線在直線l右邊的部分；同樣對(duì)于直線l左側(cè)的軌跡，可以將直線l向右平移t個(gè)單位至直線l2，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線的拋物線在直線l左邊的部分.

綜上所述，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是兩條拋物線各取一部分.

兩邊平方并化簡(jiǎn)得，y2=t2-d2+2dx+2t|x|,即y2=

三、一般結(jié)論

1.通過以上探究過程，不難發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡大致分為三類八種情況.

2.可以歸納出，定值t當(dāng)且僅當(dāng)-d0)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡才是一條完整的拋物線.

3.拋物線定義的推論：平面內(nèi)到定點(diǎn)F與定直線l(F?l,F到l的距離為d)的距離的差為常數(shù)t(|t|