一道高考數學題幾種解法的探究

于逸林

(陜西師范大學附屬中學 710061)

文中針對2017年全國數學高考二卷第23題的第二問，除了標準答案的兩種解法外，探究了另外七種新解法；并在本題啟發下，引深拓展了四道新題目及新結論.

一、原題

已知a>0,b>0,a3+b3=2.

證明：(2)a+b≤2.

標準答案兩種解法，分別為：

解法1 因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)

所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.

解法2 反證法.

若a+b>2,則a3+b3>(2-b)3+b3

=2+6(1-b)2

≥2

與題設矛盾，所以a+b≤2

二、作者的七種不同解法

1.使用著名不等式的解法

解法1 由排序不等式

a3+b3≥a2b+ab2.

∴(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

≤4(a3+b3)=8,

∴a+b≤2.

解法2 由柯西不等式，有

從而a+b≤2.

所以a+b≤2.

所以a+b≤2.

2.利用函數性質的解法

解法5 當a=b=1時，結論顯然成立.

當a≠b時，由a3+b3=2知a,b中有一個>1，一個<1，

故不妨設a>1>b.

則a3+b3=2

?a3-1=1-b3>0.

而a+b≤2

?a-1≤1-b

?a2+a+1≥b2+b+1.

又因為f(x)=x2+x+1在(0，+)是增函數,

故a2+a+1≥b2+b+1?a≥b.

從而由a>1>b知結論成立.

解法6 注意到當x>0時有

x3-3x+2=(x-1)2(x+2)≥0,

有x3≥3x-2.

故2=a3+b3≥3(a+b)-4,

從而a+b≤2.

3.使用增量代換的解法

解法7 由a3+b3=2，可知a,b中有一個≥1,一個≤1.

故不妨設a≥1≥b,

設a=1+λ,b=1-μ.

則a3+b3=2

?3λ+3λ2+λ3=3μ-3μ2+μ3

?3λ+λ3+3(λ2+μ2)=3μ+μ3,

∴3λ+λ3≤3μ+μ3.

又由f(x)=x3+3x為增函數得λ≤μ,

故a+b=1+λ+1-μ≤2.

依據此題目，還可推理得到如下結論：

(拓展1)

此題難度不是太大，注意到可用ab≥0進行放縮便可得到以下解法.

證明由于(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

≥a3+b3=2，

此題難度較大，可采用先猜后證的方法.

下面證明該不等式

?a2+b2≥ab+1

?a2-ab+b2≥1.

又由于a3+b3=2,0

即a2-ab+b2≥1,上式得證.

(拓展3)已知a≥0,b≥0,a3+b3=2，求證：a2+b2≤2.

證明由柯西不等式，有

4=2(a3+b3)≥(a+b)(a3+b3)

≥(a2+b2)2，

故a2+b2≤2.

(拓展4)已知a≥0,b≥0,a3+b3=2，求證：|a3-b3|≤3|a-b|.

證明當a=b時，結論顯然成立

當a≠b時，

|a3-b3|≤3|a-b|

?a2+ab+b2≤3.

又由基本不等式，有a2+b2≥2ab,

因此|a3-b3|≤3|a-b|

由以上的解法及拓展可以看出，這道題有多種思考方向，高中數學及競賽數學中證明不等式的大部分常用解法也已被以上的分析所包含，如：利用基本不等式、柯西不等式，以及其它著名不等式進行證明；反證法證明不等式；多變元轉換為單變元；利用函數單調性證明；利用平方的非負性進行證明；使用增量代換進行證明；取等條件特殊的不等式解法(例如利用ab≥0，a≤a+b，b≤a+b等進行放縮)以及先猜后證的方法等，希望對讀者解題有所幫助與啟發.

(指導教師：陜西師范大學 倪如俊)