一道高考數(shù)學(xué)題幾種解法的探究

于逸林

(陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) 710061)

文中針對2017年全國數(shù)學(xué)高考二卷第23題的第二問，除了標(biāo)準(zhǔn)答案的兩種解法外，探究了另外七種新解法；并在本題啟發(fā)下，引深拓展了四道新題目及新結(jié)論.

一、原題

已知a>0,b>0,a3+b3=2.

證明：(2)a+b≤2.

標(biāo)準(zhǔn)答案兩種解法，分別為：

解法1 因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)

所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.

解法2 反證法.

若a+b>2,則a3+b3>(2-b)3+b3

=2+6(1-b)2

≥2

與題設(shè)矛盾，所以a+b≤2

二、作者的七種不同解法

1.使用著名不等式的解法

解法1 由排序不等式

a3+b3≥a2b+ab2.

∴(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

≤4(a3+b3)=8,

∴a+b≤2.

解法2 由柯西不等式，有

從而a+b≤2.

所以a+b≤2.

所以a+b≤2.

2.利用函數(shù)性質(zhì)的解法

解法5 當(dāng)a=b=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

當(dāng)a≠b時(shí)，由a3+b3=2知a,b中有一個(gè)>1，一個(gè)<1，

故不妨設(shè)a>1>b.

則a3+b3=2

?a3-1=1-b3>0.

而a+b≤2

?a-1≤1-b

?a2+a+1≥b2+b+1.

又因?yàn)閒(x)=x2+x+1在(0，+)是增函數(shù),

故a2+a+1≥b2+b+1?a≥b.

從而由a>1>b知結(jié)論成立.

解法6 注意到當(dāng)x>0時(shí)有

x3-3x+2=(x-1)2(x+2)≥0,

有x3≥3x-2.

故2=a3+b3≥3(a+b)-4,

從而a+b≤2.

3.使用增量代換的解法

解法7 由a3+b3=2，可知a,b中有一個(gè)≥1,一個(gè)≤1.

故不妨設(shè)a≥1≥b,

設(shè)a=1+λ,b=1-μ.

則a3+b3=2

?3λ+3λ2+λ3=3μ-3μ2+μ3

?3λ+λ3+3(λ2+μ2)=3μ+μ3,

∴3λ+λ3≤3μ+μ3.

又由f(x)=x3+3x為增函數(shù)得λ≤μ,

故a+b=1+λ+1-μ≤2.

依據(jù)此題目，還可推理得到如下結(jié)論：

(拓展1)

此題難度不是太大，注意到可用ab≥0進(jìn)行放縮便可得到以下解法.

證明由于(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

≥a3+b3=2，

此題難度較大，可采用先猜后證的方法.

下面證明該不等式

?a2+b2≥ab+1

?a2-ab+b2≥1.

又由于a3+b3=2,0

即a2-ab+b2≥1,上式得證.

(拓展3)已知a≥0,b≥0,a3+b3=2，求證：a2+b2≤2.

證明由柯西不等式，有

4=2(a3+b3)≥(a+b)(a3+b3)

≥(a2+b2)2，

故a2+b2≤2.

(拓展4)已知a≥0,b≥0,a3+b3=2，求證：|a3-b3|≤3|a-b|.

證明當(dāng)a=b時(shí)，結(jié)論顯然成立

當(dāng)a≠b時(shí)，

|a3-b3|≤3|a-b|

?a2+ab+b2≤3.

又由基本不等式，有a2+b2≥2ab,

因此|a3-b3|≤3|a-b|

由以上的解法及拓展可以看出，這道題有多種思考方向，高中數(shù)學(xué)及競賽數(shù)學(xué)中證明不等式的大部分常用解法也已被以上的分析所包含，如：利用基本不等式、柯西不等式，以及其它著名不等式進(jìn)行證明；反證法證明不等式；多變元轉(zhuǎn)換為單變元；利用函數(shù)單調(diào)性證明；利用平方的非負(fù)性進(jìn)行證明；使用增量代換進(jìn)行證明；取等條件特殊的不等式解法(例如利用ab≥0，a≤a+b，b≤a+b等進(jìn)行放縮)以及先猜后證的方法等，希望對讀者解題有所幫助與啟發(fā).

(指導(dǎo)教師：陜西師范大學(xué) 倪如俊)