用解析法求解蟑螂的速度范圍

黃俊威 楊承翰 張至佳

(湖北省武市漢黃陂區第一中學 430300)

楊承翰(2001.11-)，男，在校學生.

張至佳(2001.2-)，男，在校學生.

題目一只蟑螂和兩只甲殼蟲在一個水平大桌面上爬行，每只甲殼蟲的速度都能達到1cm/s，開始時，這些蟲子恰好位于一個等邊三角形的三個頂點上，問蟑螂應具備什么樣的速度才能在兩只甲殼蟲任意移動的情況下仍能保持三者分別位于一等邊三角形的三個頂點上？

解析首先，假設第一只甲殼蟲A1不動，在時間Δt內，第二只甲殼蟲A2爬行了S2，要保持蟑螂和兩中甲殼蟲在變化后的等邊三角形的三個頂點上，為協調這一關系，由圖1可知，蟑螂移動了TT′=S2=v1Δt.其次，再假設第二只甲殼蟲A2不動，同樣在時間Δt內，第一只甲殼蟲A1爬行了S1，則蟑螂移動了T′T″=S1=v1Δt.

上述兩只甲殼蟲的運動是獨立的，它們的位移是各自產生的，是遵循矢量的獨立原理.同時，矢量也是滿足疊加原理的，我們完全可以想象兩只甲殼蟲的運動同時進行的，而蟑螂是分別協調關系的，即將兩個獨立的運動協調關系疊加，則由圖2可得蟑螂同時滿足兩只甲殼蟲隨意運動的位移協調關系為：TT″=TT′+T′T″.同時由圖2的矢量關系

可知;TT″≤TT′+T′T″=(v1+v2)Δt,則v0≤v1+v2=2v=2 cm/s.

即蟑螂必須具備可達到2 cm/s的速度才能保證三者分別位于一等邊三角形的三個頂點上.

筆者認為以上的分析表面看起來天衣無縫，但是不是兩只甲殼蟲的速度同向時蟑螂有最大速度嗎？兩只甲殼蟲速度方向相反時蟑螂有最小速度嗎？

正解解析

1.建立模型

B(-a+v1cosθ·t,v1sinθ·t),

C(a+v2cosα·t,v1sinα·t)

2.方程的求解

由于三只昆蟲始終組成一個正三角形，則AB=AC=BC，即

解方程后得

蟑螂的速度方向與水平方向所成的角為

3.討論

(1)當θ-α=2π/3時，蟑螂的速度有最大值v1+v2

(2)當α-θ=π/3時，蟑螂的速度有最小值|v1-v2|

如圖4所示，當兩只甲殼蟲的速度方向夾角為120度時，蟑螂的速度有最大值.

如圖5所示，當兩只甲殼蟲的速度方向夾角為60度時，蟑螂的速度有最小值.

綜上所述，蟑螂的速度范圍是v∈[|v1-v2|,v1+v2]