構造“基本不等式”適用背景的六種變換

蔡勇全

(四川省資陽市外國語實驗學校 641300)

基本不等式是高中數學的重要內容，也是歷年高考考查的熱點，它的技巧性較強，體現在有些問題不能直接應用該結論求解，需要事先進行適當的恒等變換，構造出基本不等式的適用背景——“一正、二定、三相等”，即不僅表達式中含變量的項是正的，而且表達式中含變量的項的和取得最小值時，能湊出這些項的積為定值，或含變量的項的積取得最大值時，能湊出這些項的和為定值，還須此時含變量的項恰好相等，從這個角度來看，基本不等式也是教學中的難點之一.

一、常量逆代

二、加幾減幾

例2 已知正數a，b滿足ab-a-b-1=0，求a+b的最小值.

變式1 已知正數x，y滿足3x+2y=xy，求2x+3y的最小值.

三、升次拆冪(項)

變式3 已知正數x，y滿足x2y=2，求x2+xy的最小值.

評注例3及其兩個變式采取了不同的升次拆冪技巧，其中，例3采取的是升次策略，將目標式升次到可以運用基本不等式的背景下，變式1是將目標式直接拆冪到可以運用基本不等式的背景下，變式2則是先升次再拆冪到可以運用基本不等式的背景下，而變式3是將目標式拆項到可以運用基本不等式的背景下，需要注意的是，不論是只升次還是先升次再拆冪，都要回歸到原目標式本身.

四、換元引參

例4 已知a，b，c為△ABC三邊的長，求證:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

五、取倒反推

評注當條件與目標式之間的關系不明顯或較為模糊時，運用取倒反推不失為一種迂進的間接策略，有利于使問題明朗化，取倒反推實際上也是正難則反思想的應用，如果從問題的正面求解比較困難，從問題的反面入手往往會事半功倍.

六、配添分離