利用函數的性質求解數列問題

邵超群

(江蘇省南京師范大學 210024)

一、利用函數的單調性求解數列問題

例1 (2013.上海)在數列{an}中，an=2n-1，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj,(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，則該矩陣元素能取到的不同元素的個數為( ).

A.18 B.28 C.48 D.63

分析解決這道題目首先要理解不同元素的意思，即元素不重復.由于該矩陣的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，要使aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12)(找出重復元素)，則滿足2i+j-1=2m+n-1，得到i+j=m+n.由指數函數的單調性可知：當i+j≠m+n時，aij≠amn，因此即可得出該矩陣元素能取到的不同數值是i+j(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)的所有不同和.

解答該矩陣的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，當且僅當i+j=m+n時，aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12).因此該矩陣元素能取到的不同數值為i+j的所有不同和，其和為2,3,…,19，共18個不同數值.故選A.

反思由題意得出：當且僅當i+j=m+n時，aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12)是解題的關鍵.

解(1)、(2)略；

反思數列問題中像第三問這種不等式的證明高考題中很常見，常常需要運用分析法，把問題轉化為一個個熟悉的問題進行求解.例如本題是轉化為一個新的函數，最終利用函數的單調性證明，在這個過程中常常會使用放縮法等有技巧性的手段.教師在實際的解題教學中可以簡要地介紹幾種常見的放縮結構，注意把重點放在問題的分析上.

二、利用函數的周期性求解數列問題

解該數列前2012項和可分為兩部分求解：一部分是常數項1求和，其和為2012；

反思由三角函數周期性化簡求和是解題的關鍵，教師在平時教學過程中應多注意引導學生將數學和三角函數的性質多做聯系，培養學生的發散性思維，而不是沉浸于“題海戰術”.

例4 (2009.北京)已知數列{an}滿足：a4n-3=1，a4n-1=0，a2n=an，n∈N*，則a2009=____；a2014=____.

解本題表面上是數列遞推，2009=4×503-3，則a2009=a4×503-3=1；同理a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0.但本質上是體現著數列(函數)的周期性，如果把數列看作是一個抽象函數f(x)，我們很快就能得到f(1)=f(5)=…=f(4x-3)=1(x∈N*)、f(3)=f(7)=…=f(4x-1)=0(x∈N*)、f(1)=f(2)=…=f(2x)(x∈N*).根據上述幾個關系式，易知當數列取到奇數項時，呈現出1，0周期為2的交替數列；而當為偶數項時，是恒為1的常數列.因此a2009=a1004×2+1=a3=1，a2014=a1=0.顯然從函數(周期性)能更清晰地理解本題的數列遞推.

例5 (2012年蘇錫常鎮一模)設u(n)表示正整數n的個位數，a(n)=u(n2)-u(n)，則數列{an}的前2012項和等于____.

分析高中階段求數列前n項和，要么是通項公式比較特殊(等差、等比等)，要么是前后項之間有一部分可以化簡(裂項相消這種形式)，還有一種就是根據周期來求.本題新定義的這個數列均不屬于前兩種，那它是否具有周期性呢？這就是我們要考慮的.

解因為u(n)是表示正整數n的個位數，而我們發現a(n)=u(n2)-u(n) 是周期為10的數列，一個周期內各項為：0、2、6、2、0、0、2、-4、-8、0，一個周期內各項之和為0，所以前2012項和實際就是前兩項值和為2.

反思這種新定義的數列是近年高考的常考題，實際上只要弄清它的定義法則就很簡單了.比如本題u(n)的周期為10這是很容易看出的，那么u(n2)是否也具有周期性呢，結合它的定義法則很容易就可以得到它的周期也為10，只要繞過這道關，問題就解決了.

三、利用函數的對稱性求解數列問題

這里的函數并不是指所有函數，而是指在正整數集上的某一區域內對稱軸的函數，比如二次函數，三角函數等等，遇到與這些函數有關的數列問題時，我們可以往這方面考慮，常常能起到事半功倍的效果.

例6 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1=16，S5=S12.當n為何值時，Sn有最大值，并求出其最大值.

分析等差數列的前n項和是關于x的二次函數的離散點，又由于Sn有最大值，說明圖象開口朝下d<0，因此它的最大值可能有兩項，需要進一步分析.

反思從二次函數圖象的對稱性角度，可以更加直觀便捷地解決此類問題，并且符合學生的認知，從而更加自然地列出關系式，這也更容易幫助學生理解等差數列前n項和的性質.