構(gòu)造函數(shù)證明不等式或命題

王中華

(山東省棗莊市第二中學(xué) 277400)

構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，在導(dǎo)數(shù)問題中, 常常需要根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)條件得出所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)用單調(diào)性及最值等知識解決問題,該類題目具有一定的難度.有時簡單的構(gòu)造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理地構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵.這里我們來一起探討一下這方面問題.

一、就函數(shù)解析式的部分因子構(gòu)造函數(shù)

所以當(dāng)x∈(0,x0)時，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減;

所以當(dāng)x∈(x0,+∞)時，t′(x)>0，t(x)單調(diào)遞增.

所以t(x)的最小值為t(x0)=ex0-lnx0-a=0.

小結(jié)本題構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),對導(dǎo)函數(shù)的分子再構(gòu)造函數(shù).研究曲線切線、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等解析幾何問題，可以利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，使問題的求解有一個清晰直觀的整體體現(xiàn).

二、構(gòu)造差函數(shù)

例2 (2017內(nèi)蒙呼和浩特一模)已知函數(shù)f(x)=ex-x2-1,x∈R．當(dāng)x∈R時，求證：f(x)≥-x2+x.

分析構(gòu)造差函數(shù)：g(x)=f(x)+x2-x,再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值g(x)min=g(0)=0,即得證.

證明令g(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,

令g′(x)=ex-1=0,得x=0.

∴當(dāng)x∈(-∞,0)時，g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(0,+∞)時，g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

∴g(x)min=g(0)=0,從而f(x)≥-x2+x.

小結(jié)對于函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)函數(shù)值恒成立問題,可以用求函數(shù)最值的方法, 一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，利用f(x)>m恒成立?f(x)min>m;f(x)

三、主元法構(gòu)造函數(shù)

證明對g(x)=xlnx求導(dǎo),則g′(x)=lnx+1.

當(dāng)0

當(dāng)x>a時,F′(x)>0,因此F(x)在(a,+∞)上為增函數(shù).

從而當(dāng)x=a時,F(x) 有極小值F(a).

當(dāng)x>0時,G′(x)<0，因此G(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).

小結(jié)對于本題絕大部分的學(xué)生都會望而生畏.學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的.

四、換元法構(gòu)造函數(shù)

所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，∴x∈(0,+∞)時，恒有h(x)>h(0)=0，

即x3-x2+ln(x+1)>0，∴l(xiāng)n(x+1)>x2-x3.

小結(jié)我們知道，當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x>a時，有F(x)>F(a)．如果f(a)=φ(a)，要證明當(dāng)x>a時，f(x)>φ(x)，那么，只要令F(x)=f(x)-φ(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)遞增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F′(x)>0即可．