例談有關(guān)兩個參變量問題的幾種解題方法

楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510820)

在歷年高考試題和模擬試題中常常出現(xiàn)一類涉及兩個參變量的難題．這類試題主要考查參變量的求值或取值范圍．它初看起來無從下手、思路不明，但仔細(xì)思量、推敲便會豁然開朗．筆者就有關(guān)兩個參變量問題分別從線性規(guī)劃、方程思想、幾何性質(zhì)、向量運(yùn)算、不等式性質(zhì)等多角度進(jìn)行析疑解惑，從而體現(xiàn)出濃濃的“高考味”．現(xiàn)舉例說明．

一、借用線性規(guī)劃解決兩個參變量問題

有這樣的一類題，看似熟悉、簡單的方程，卻因含有兩個參變量使得問題變得更加復(fù)雜，此時可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為一類不等式組，借助線性規(guī)劃知識將問題解決．

分析此題考查了含有兩個參變量的一元二次方程根的分布情況．解決此題關(guān)鍵在于：將方程轉(zhuǎn)化函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，借助線性規(guī)劃知識將問題解決．

當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)與直線2a+b+3=0平行時，k=-2為最小

例2 已知函數(shù)f(x)=|xex+1|，關(guān)于x的方程f2(x)+2sinα·f(x)+cosα=0有四個不等的實(shí)根，則sinα-cosα≥λ成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為____．

分析此題考查了函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)等多個知識點(diǎn)結(jié)合的綜合題．本題難點(diǎn)：含有絕對值符號及兩個參變量．解決此題的關(guān)鍵：重在轉(zhuǎn)化，借助圖形，利用線性規(guī)劃知識將問題解決．

解如圖2，f(x)=|xex+1|.

當(dāng)x>0時，f(x)=xex+1，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x<0時，f(x)=-xex+1，令f′(x)=0,解得x=-1.

所以當(dāng)x<-1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)<-1

二、借用方程思想解決兩個參變量問題

有這樣的一類題，看似熟悉、簡單的函數(shù)，卻因含有兩個參變量使得問題變得更加復(fù)雜，此時可根據(jù)題目的條件把它轉(zhuǎn)化為方程，借用方程組消元將問題解決．

分析此題涉及含有兩個參變量的一元二次不等式．由于涉及兩個參變量，難度增加，解決此問題關(guān)鍵：轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，運(yùn)用分類討論，列方程組消元可求得兩個參變量的值．

三、借用平面幾何性質(zhì)解決兩個參變量問題

有這樣的一類題，條件中涉及幾何背景的知識，且含有兩個參變量．此時，借用平面幾何性質(zhì)，觀察圖形特征，問題會更容易讓人理解．

例4 (2009年高考重慶卷文)把函數(shù)f(x)=x3-3x的圖象C1向右平移u個單位長度，再向下平移v個單位長度后得到圖象C2，若對任意的u>0，曲線C1與C2至多只有一個交點(diǎn)，則v的最小值為( ).

A．2 B．4 C．6 D．8

分析此題考查了函數(shù)圖象的運(yùn)動變化．困難所在：涉及兩個參變量．問題是：在圖象之間如何找到至多只有一個交點(diǎn)．

解決此題的關(guān)鍵：畫出兩個圖象，觀察圖形，運(yùn)用平面幾何性質(zhì)，找出極大值和極小值，進(jìn)而找到參變量v的最小值．

解利用導(dǎo)數(shù)方法作函數(shù)f(x)=x3-3x的圖象C1，如圖4所示，然后作平移變換得到C2，觀測圖象只有在v≥f(x)極大值-f(x)極小值=4時對任意u>0(表示圖象向右平移)曲線C1與C2至多一個交點(diǎn)．故選B．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)，線段BC被y軸平分，且AB⊥AC，求直線l的方程．

分析此題考查了直線與橢圓相結(jié)合的綜合問題．第二問涉及兩個參變量，若直接列方程組，方法簡單，但運(yùn)算復(fù)雜，學(xué)生只能可望而不可及；若從平面幾何的對稱性質(zhì)，觀察圖形，問題會變得簡單．

(2)將直線方程y=kx+m代入橢圓方程，

整理，得(1+k2)x2+8mkx+4m2-8=0.

因?yàn)閗≠0，所以m=0.

因?yàn)楫?dāng)m=0時，B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)B(x,kx)，C(-x,-kx).

因?yàn)锳B⊥AC，A(2,1),

四、借用向量運(yùn)算解決兩個參變量問題

有這樣的一類題，條件中涉及到平面向量的基本定理．由于涉及含有兩個參變量讓人無從下手．解決此問題方法：一方面可以采用向量的加、減法原理求出兩個參變量的值；另一方面也可以用數(shù)量積列出方程組求解．當(dāng)然，有時采用法向量消元更加方便、快捷．

解如圖6，(1)略.(2)∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-150°-120°=90°,

所以∠COD=∠AOC-90°=120°-90°=30°,

∠BOD=360°-∠AOB-90°=360-150°-90°=120°.

分析對于這樣的一個圖，許多人自然會想到建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得；若細(xì)心觀察圖形發(fā)現(xiàn)a是小正方形兩端點(diǎn)的對角線，且向量c點(diǎn)的起點(diǎn)及向量b的中點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，平移向量a即可構(gòu)成一個三角形，利用向量的三角形法則可得c=λa+μb(λ,μ∈R)．

解析由圖7B可知，向量b的中點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)E(小正方形的一個頂點(diǎn))，向量c的起點(diǎn)F是小正方形的一個頂點(diǎn)，連接EF，構(gòu)成一個三角形.

五、借用絕對值不等式性質(zhì)解決兩個參變量問題

有這樣一類題，條件中含有絕對值符號，若用去絕對值符號則需要進(jìn)行分類討論，加上涉及兩個參變量，本來復(fù)雜的題變得難上加難．此時，恰當(dāng)運(yùn)用絕對值不等式性質(zhì)會有意想不到的效果．

例8 設(shè)f(x)=|log2x+ax+b|(a>0)在區(qū)間[t,t+2](t為正數(shù))上的最大值為Mt(a,b)，若{b|Mt(a,b)>1+a}=R,則實(shí)數(shù)t的最大值( ).

分析此題考查了含有絕對值符號的函數(shù)．學(xué)生思維障礙是含有多個參變量及絕對值符號．解決此問題的關(guān)鍵：去絕對值不等式符號，應(yīng)用其性質(zhì)可以避免了分類討論，此題就可快速解決．

總而言之，在涉及到多個參變量的創(chuàng)新型試題是培養(yǎng)學(xué)生能力、優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的極好素材，應(yīng)引起廣大師生足夠重視．