探析導數試題中的求整數參數最值問題的求解策略

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學新校區 363100)

課題立項：本文是福建教育學院2017年基礎教育研究立項課題《微專題視角下的高三數學復習策略研究》(編號JYYB-2017001)的階段性研究成果.

在導數試題中,經常出現一類以含參不等式為載體,求整數(或正整數)參數的最值問題.此類問題融含參函數,含參不等式,最值問題于一體,需要借助導數研究函數的單調性,零點,極值,最值等問題,綜合性較強,能夠較好地考查學生的數學思維能力,運算求解能力.在長期的教學實踐中,筆者總結了此類題型的一種求解策略,現說明如下.

又φ(2)=1-ln3<0,φ(3)=2-ln4>0,根據零點存在性定理可知,存在x0∈(2,3),使得φ(x0)=0.

當x∈(0,x0)時,φ(x)<0,h′(x)<0,h(x)在(0,x0)上單調遞減;

當x∈(x0,+∞)時,φ(x)>0,h′(x)>0,h(x)在(x0,+∞)上單調遞增.

由φ(x0)=0得,x0-1-ln(x0+1)=0,即x0=1+ln(x0+1).

則h(x0)=x0+1∈(3,4),即k≤3.

故正整數k的最大值為3.

總結:上述試題的求解思路如下:

第一:分離變量轉化為求新函數的最值.將參數k與變量x分離,轉化為求新函數h(x)的最小值.

第二:虛設零點.借助導數和零點存在性定理考查導函數的隱零點(雖然求不出具體的零點,但是可以設成x0,并且確定x0∈(2,3),進而考查函數h(x)的單調性,從而確定h(x)的最小值為h(x0).

第三:整體替換.為了求出h(x0)的取值范圍,必須將1+ln(x0+1)替換成為x0,從而對h(x0)的表達式進行化簡變形,然后借助函數求值域的方法求出h(x0)的取值范圍,即h(x0)=x0+1∈(3,4).

第四:求出正整數k的最大值為3.

當x∈(0,x0)時,φ(x)>0,h′(x)>0,h(x)在(0,x0)上單調遞增;

當x∈(x0,+∞)時,φ(x)<0,h′(x)<0,h(x)在(x0,+∞)上單調遞減.

則a≥2.故整數a的最小值為2.

總結:上述試題的求解思路如下:

第一:分離變量轉化為求新函數的最值.將參數a與變量x分離,轉化為求新函數h(x)的最大值.

第四:求出整數a的最小值為2.

例3 已知函數f(x)=alnx-x2+x,g(x)=(x-2)ex-x2+m,當a=-1,x∈(0,1]時,f(x)>g(x)恒成立,求正整數m的最大值.

解析由已知有m<(-x+2)ex-lnx+x在x∈(0,1]上恒成立.

令h(x)=(-x+2)ex-lnx+x,x>0.只需m≤h(x)min.

當x∈(0,x0)時,φ(x)<0,h′(x)<0,h(x)在(0,x0)上單調遞減;

當x∈(x0,+∞)時,φ(x)>0,h′(x)>0,h(x)在(x0,+∞)上單調遞增.

則m≤3.故正整數m的最大值為3.

總結:上述試題的求解思路如下:

第一:分離變量轉化為求新函數的最值.將參數m與變量x分離,轉化為求新函數h(x)的最小值.

第四:求出正整數m的最大值為3.

通過上述試題的分析,對于此類含參不等式,求整數(或正整數)參數的最值問題,可以采用如下求解策略:

第一:分離變量轉化為求新函數的最值.將參數與變量x分離,轉化為求新函數h(x)的最小(大)值.

第二:虛設零點.借助導數和零點存在性定理考查導函數的隱零點(雖然求不出具體的零點,但是可以設成x0,并且確定x0的范圍,進而考查函數h(x)的單調性,從而確定h(x)的最小(大)值為h(x0).

第三:整體替換.為了求出h(x0)的取值范圍,必須將對數式或者指數式用含x0的表達式進行替換,從而對h(x0)的表達式進行化簡變形,然后借助函數求值域的方法求出h(x0)的取值范圍.

第四:求出整數(正整數)參數的最值.

練習:已知函數f(x)=2ex+3x2-2x,若存在實數x,使得f(x)-2x2-3x-2-2k≤0成立,求整數k的最小值.

故整數k的最小值為0.