一種新思路下的導數題妙解

陳浩良

(福建省福安一中 355000)

例1 已知f(x)=x-1-lnx，g(x)=ex-ex.若在[1,+∞)上恒有g(x)≥λf(x)成立，試求λ的取值范圍.

這里先給出此題的常規解法.

故f(x)≥f(1)=0，當且僅當x=1時取等號.

顯然在[1,+∞)上h″(x)≥h″(1)=0，故在[1,+∞)上h′(x)單調遞增,所以h′(x)≥h′(1)=0，故在[1,+∞)上h(x)單調遞增，故h(x)≥h(1)=0，所以有g(x)-λf(x)=eh(x)≥0，即g(x)≥λf(x)在[1,+∞)上恒成立.

則m(x)在(1,x2)上單調遞減，在(x2,+∞)上單調遞增.因為m(1)=0所以m(x2)

所以x=x2時g(x2)-λf(x2)=em(x2)<0不合題意.

綜上所述，λ的取值范圍為(-∞,e].

從上述解法中，我們可以看出，e這個分類討論的分隔點出現的很突兀，而且在第ii)分類是由于求了二階導數，解題過程十分繁雜，而且要說清楚較為困難.在此本文根據一個很基本的常識x=elnx給出在新思路下的解法

則g(x)≥λf(x)?ex-1-k(x-1)≥elnx-klnx?n(x-1)≥n(lnx).

若k≤0則n′(x)=ex-k>0，故n(x)在[1,+∞)上單調遞增.

即x-1≥lnx，所以n(x-1)≥n(lnx).

若k>0，令n′(x)=0，得x=lnk，

所以n(x)在(-∞,lnk)上單調遞減，在(lnk,+∞)上單調遞增.

1)若0

2)若k>1,令x0-1=lnk，此時x0≠1因為x-1≥lnx當且僅當x=1時取等,

故此時x0-1=lnk≠lnx0，所以n(x0-1)=n(lnk)=n(x)min

綜上所述，k的取值范圍為(-∞,1]，故λ的取值范圍為(-∞,e].

比較上述兩種解法，顯然在新思路下的解法更為簡明，分類標準更為清晰，說明過程也顯得不啰嗦.哪種解法更為高明？答案顯而易見.

例1中不用新思路解題其實也能完成解答，但是倘若碰到一些常規解法沒有辦法解決的題目，又該如何呢.下面我們再看另一題新思路速解.

倘若按照一般思路對f(x)進行求導，那么你會發現

看，只通過一個基本結論就將問題簡化至這樣，新思維的優越又一次體現.故，在解題中運用常見結論，簡化問題便是新思維新思考的本質所在.當然，新思路自然不止這一種，更多的新思路有待解題過程中你們自己去發掘，記住，別被慣性思維限制.