如何利用函數的單調性解題

龐宇軒

(山東省青島第二中學 266100)

一、函數單調性的概念

1.函數單調性的概念

在函數f(x)中，假設f(x)中存在兩個自變量x1和x2且兩個自變量在區間V中，區間V在函數的定義域里，如果x1小于x2時，有f(x1)大于f(x2)，就說明函數f(x)在區間V上是單調減函數；反之如果x1小于x2時，有f(x1)小于f(x2)，就說明函數f(x)在區間V上是單調增函數.

在研究函數的單調性時一定要在相應的定義域中討論，如果題目中沒有給出明確的區間和區間單調性，此時求解函數的單調性就沒有意義.

2.利用函數單調性的概念解題

分析由題意可知，x不等于0，因此該函數的定義域是負無窮到0和0到正無窮的并集.

當a<0時，仿照上述方法可得f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)內分別是單調遞增的.

二、函數單調性的不同解題方法

高中數學在函數單調性這一模塊中主要的研究方法有：函數單調性的定義、導數的應用、復合函數的研究以及數形結合的方法.

函數定義：用這種方法做題一般是三個步驟，首先要在相應的單調區間中分別設定兩個不同的自變量；其次用兩個因變量來比較大小，確定兩個因變量的大小關系；最后運用函數單調性的定義在區間下得出結論.

復合函數求解：判斷復合函數的單調性首先應該確定定義域下，內外層函數的函數單調性，然后應用復合函數單調性的復合法則來進行判定，在定義區間下，如果內外函數的單調性相同，復合函數是單調增；相反的如果內外函數的單調性不相同，復合函數是單調減.

數形結合：圖象是解決函數問題時比較常用的方法之一，利用圖象進行觀察，可以使問題變得更加直觀簡單.學生熟練掌握各種基本函數的具體圖象和其特點后，就可以直接通過對函數圖象的分析去解決相關問題.觀察函數的圖象，當自變量不斷變大時，此區間中該函數的函數值是不斷增加的，那么說明該函數在該區間內是單調遞增的；同理，如果自變量不斷變大，區間中該函數的函數值是不斷減少的，那么說明該函數在該區間內是單調遞減的.圖形的對稱性也是解題的關鍵點，學生可以利用兩個函數的對稱性和函數自身的對稱性來研究函數的單調性.無論如何學生學習這一部分內容都需要認真觀察熟練掌握.

三、解決一些實際問題

1.求值

例1 設x，y為實數，且滿足

解由已知條件，可得：

故若設f(t)=t3+1997t，則上述條件即為：f(x-1)=f(1-y)=-1.

又易知函數f(t)=t3+1997t在R上是單調增函數，所以由上式有：x-1=1-y，即x+y=2.

2.解方程

例2 解方程(5x+3)3+x3+6x+3=0.

解原方程變為：(5x+3)3+(5x+3)=-(x3+x).

設f(x)=x3+x，則原方程即為：f(5x+3)=-f(x).又f(-x)=-f(x)，從而原方程即為：f(5x+3)=-f(x).

3.求最值

例3 已知點B(0，6)，C(0，2)，試在x軸正半軸上求一點A，使得∠BAC最大.

4.比較大小

例4 已知a>1，且ax-logay>ay-logax，試比較x，y的大小.

解由條件得：ax+logax>ay+logay.

引入函數f(t)=at+logat，則上式即為：f(x)>f(y).

易知函數f(t)=at+logat在(0，+∞)上是增函數，所以x>y.

5.證明不等式

例5 設a∈R，求證：a8-a5+a2-a+1>0.

證明當a≤0或a=1時，不等式顯然成立.

當a>1時，函數y=ax在R上是增函數，所以a8>a5，a2>a，所以a8-a5+a2-a+1>0；

當0a5，1>a，又a8>0,

所以a8-a5+a2-a+1>0.

故對一切a∈R，不等式a8-a5+a2-a+1>0成立.

6.求參數范圍

例7 設函數

7.解不等式

例8 函數f(x)對任意a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且當x>0時，f(x)>1.若f(a)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.

解析可以先根據單調性的定義來判定函數f(a+b)=f(a)+f(b)-1的單調性.

任取實數x1,x2,設x10，則f(x)>1.

f(x2)=f(x1+x)=f(x1)+f(x)-1>f(x1).

所以f(x)在R上是增函數.

由f(4)=f(2)+f(2)-1=5，得到f(2)=3.所以f(3m2-m-2)<3=f(2).

運用函數的單調性解不等式，要注意該函數的定義域，要明確相應定義域上的函數單調性，不然的話在做題過程中很容易出錯.

同時，在判斷函數單調性的過程中還可以通過觀察函數圖象的奇偶性的方法來進行.如果函數是奇函數，那么以原點為中心，關于原點對稱的區間內該函數的單調性相同;如果函數是偶函數，那么關于原點對稱的區間內該函數的單調性相反.

總之，函數知識一直是高中數學教學過程的重點和難點，函數知識的有效學習對于學生未來數學知識的學習過程具有重要的地位. 因此，加強高中函數知識的教學是十分必要的.充分掌握函數單調性的知識可以幫助學生更好地解決不等式，例如參數的不斷建立和方程參數的范圍.因此，掌握函數的單調知識是非常重要的.