關于向量與三角形“四心”一類問題的研究

龐嘉鵬

(遼寧省鐵嶺市高級中學三年25班 112000)

根據(jù)向量的數(shù)形特性,我們可以將三角形數(shù)量化,并通過運算化簡來解決與三角形“四心”有關的軌跡等問題.本文研究一些有關向量與三角形的“四心”知識交匯的相關問題，以幫助同學們更好地體會向量的獨特魅力.

一、向量在三角形“重心”中的應用

三角形重心是三角形三條中線的交點，并且重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1.在三角形重心的研究中，我們可以結(jié)合向量的中線形式或平行四邊形法則，用向量共線來研究動點軌跡過三角形重心的問題.

點評本題主要是通過運用三角形法則和平行四邊形法則以達到向量共線的目的，再結(jié)合三角形重心定義，得出正確的結(jié)論.

點評本題巧妙地運用了正弦定理，使該題等價變形為例1的形式，從而解決問題，所以熟悉例1的題型是解決這類問題的基礎.

二、向量在三角形“內(nèi)心”中的應用

三角形的內(nèi)心是指三角形的三個內(nèi)角平分線的交點，即三角形內(nèi)切圓的圓心.本類問題主要是通過單位向量和向量的平行四邊形法則構(gòu)造一個菱形，再利用菱形對角線就是角平分線和向量共線的性質(zhì)，從而解決了動點軌跡過三角形內(nèi)心的問題.

點評本題的關鍵是熟悉單位向量的形式，通過向量的平行四邊形法則構(gòu)造出一個菱形，再結(jié)合向量共線、內(nèi)心定義，從而解決這類知識的交匯問題.

點評本題結(jié)合了正弦定理，使該問題實現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化，從而變成了例2的形式，問題得以解決.所以熟練掌握例2的題型是解決這類的關鍵.

點評本題形式比較復雜，不容易找到解決問題的突破口，解決此類問題還是要等價轉(zhuǎn)化，這里兩次運用了正弦定理，先后轉(zhuǎn)化為上述變式1例2的題型.

三、向量在三角形“垂心”中的應用

三角形的垂心是三角形的三條高或其延長線的交點.利用向量研究直線或線段的垂直問題是比較方便的，關于直線垂直問題就可以轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零的問題，此時向量的優(yōu)越性就非常明顯地體現(xiàn)出來.兩個向量垂直的充要條件可以把“垂直”的內(nèi)在含義淋漓盡致地體現(xiàn)在一個等式中，有效地回避了解析幾何中錯綜復雜的位置關系的演化，而變?yōu)榧兇獾幕嗊\算，通過這種思想來解決動點軌跡過三角形垂心的問題還是比較方便的.

再由三角形垂心的定義可得動點P所在的軌跡一定經(jīng)過△ABC的垂心.

點評本題的切入點不易發(fā)現(xiàn)，首先運用了倍角公式變形，發(fā)現(xiàn)一部分條件屬于正弦定理問題，通過應用正弦定理，使該題型轉(zhuǎn)化成例3的題型，所以掌握例3是解決過垂心的問題的關鍵.

四、向量在三角形“外心”中的應用

三角形的外心就是三角形三邊垂直平分線的交點，三角形的三個頂點就在這個外接圓上，即三角形外接圓的圓心.用向量研究外心問題，主要還是要結(jié)合外心定義和向量垂直問題來共同解決動點軌跡過外心的問題.

點評本題難度適中，主要考察了垂直平分線定義、外心定義，通過三角形法則、平行四邊形法則達到向量共線的目的，使問題得以解決.

在以上的問題中，向量通常是幾何的形式出現(xiàn)的， 用向量作為工具對于解決幾何問題有其獨到之處，將傳統(tǒng)幾何中的定性推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算化簡的定量分析，避免了傳統(tǒng)幾何方法中繁瑣的推理及論證，充分體現(xiàn)出數(shù)學中數(shù)與形這二元結(jié)合、相輔相成的基本內(nèi)涵和本質(zhì)特征，為高中數(shù)學增加了活力.