f(x)=(x-b)|x-a|型函數性質

孫添耀

(浙江省寧波市五鄉中學 315111)

首先研究函數f(x)=(x-b)|x-a|的對稱性與單調性.為了研究方便，不妨固定參數b.且討論a>b時，函數f(x)圖象如右圖1：

當a

接下來我們討論a>b時函數f(x)在閉區間[0,m]上最值的問題.

不妨令b=1,m=4.求函數f(x)=(x-1)|x-a|(a>1)在區間[0,4]上的最值.

解設原函數為h(x)=(x-1)(x-a)(a>1)，

根據函數對稱性作圖2.

∴fmax(x)=f(4)=3|4-a|=3(a-4).

故綜上可得，

一般函數f(x)=(x-b)|x-a|(a>b>0)圖象如圖4.

在區間[0,m]上的最值作如下總結：

此時fmin(x)=f(0)=-ab.

同樣要分成三種情況：

∴fmax(x)=f(m)=(m-b)(a-m)

③當m>x00時，

∴fmax(x)=f(m)=(m-b)(m-a).

故綜上可得，fmin(x)=-ab，