加強數學命題 證明數列不等式

劉佳雪

(河北師范大學附屬中學 050011)

高考對數學歸納法的考查最常見的是用數學歸納法證明數列不等式.這雖然是一個行之有效的基本證題方法,但有時會發現有些數列不等式如果一邊是常數，在證從“k”到“k+1”的過程中，遞推過程將無法實現，不能證明命題P(n).此時，我們可以通過證明一個比命題P(n)更強的命題，來達到證明命題P(n)的目的.下面我們給出兩個例題來說明，探究如何解決這類問題.

當n=1時，顯然成立.

那么，當n=k+1時，

所以①式成立，從而結論得證.

當n=1時，原不等式成立.

那么，當n=k+1時，

所以當n=k+1時，不等式③成立，

評注由于歸納假設也隨之加強，這樣強化的命題也更易于歸納法證明.

說明通過以上兩個例題我們發現，解決不等式問題的關鍵是如何加強命題，望同學們多做一些類似的題目，體會方法.