數(shù)學(xué)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用舉例

李一諾

(河北省邢臺(tái)市第二中學(xué)2016級(jí)18班 054000)

一、利用方程思想解題

方程思想充滿了數(shù)列整個(gè)章節(jié)，它是解決數(shù)列有關(guān)元素問題的基本方法，運(yùn)用方程思想解題需要抓住基本量，掌握好設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程三個(gè)環(huán)節(jié).

例1 等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)的和為( ).

A.130 B.170 C.210 D.260

二、利用函數(shù)思想解題

數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，求解數(shù)列問題應(yīng)根據(jù)題意注意溝通數(shù)列與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解往往使解題方便快捷.

例2 在等差數(shù)列中，已知Sp=q,Sq=p(p≠q)，求Sp+q的值.

三、利用分類討論思想解題

依據(jù)題中的條件，確定討論對(duì)象和討論標(biāo)準(zhǔn)，使用分類討論思想，使解題更具有條理性，解題過(guò)程更加清晰.

例3 求和Sn=1+2x+…+nxn-1(x≠0).

解∵Sn=1+2x+3x2+…+(n-1)xn-2+nxn-1,

∴xSn=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nxn.

兩式相減得(1-x)Sn=(1+x+x2+…+xn-1)-nxn.

四、利用轉(zhuǎn)化思想解題

根據(jù)題目所給的結(jié)構(gòu)特征，尋找項(xiàng)之間的規(guī)律，利用轉(zhuǎn)化思想解題.它集中體現(xiàn)在求和過(guò)程中將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列.

例4 求和Sn=1·2+2·3+3·4+…+n(n+1).

解∵k(k+1)=k2+k(k=1,2,…,n),

∴Sn=(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)

=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)

五、利用數(shù)形結(jié)合思想解題

恩格斯曾經(jīng)這樣定義數(shù)學(xué)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的數(shù)學(xué)”.數(shù)形結(jié)合不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法.它形象、直觀，有利于我們解題.

例5 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0,

(1)求公差d的取值范圍;

(2)指出S1,S2,S3,…,S12中那一個(gè)值最大？并說(shuō)明理由.

六、利用構(gòu)造思想解題

構(gòu)造法解題可以化繁為簡(jiǎn)，它主要體現(xiàn)在利用原數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)的問題.

∴an=22-(1/2)n-1.