等差數列前n項和公式的拓寬及應用

卜佳文

(河北省唐山市第二中學 063000)

求和問題是數列中的重點和難點，對于等差數列的前n項和Sn來說，可以進一步將其拓寬，從而得到很好的結論，這樣更有利于我們進一步加深對它的理解、掌握和運用.

結論1 在等差數列{an}中，前n項和為Sn，公差為d，k∈N*.則S2k=k(ak+ak+1)，S2k+1=(2k+1)ak+1.

證明：當n=2k時，a1+a2k=a2+a2k-1=…=ak+ak+1，所以Sn=k(ak+ak+1)；

當n=2k+1時，a1+a2k+1=a2+a2k=…=ak+ak+2=2ak+1，所以Sn=(2k+1)ak+1.

所以Sm=Am2+Bm，Sn=An2+Bn，

=A(m+n)2+B(m+n)=Sm+n，

同理可證：Sm+n=Sm+Sn+mnd.

推論1 在等差數列{an}中，前n項和為Sn，m、n∈N*，m≠n，若Sm=n，Sn=m，則Sm+n=-(m+n).

推論2 在等差數列{an}中，前n項和為Sn，m、n∈N*，m≠n，若Sm=Sn，則有Sm+n=0.

證明：

所以Sp=Ap2+Bp，Sq=Aqn2+Bq，Sm=Am2+Bm，Sm=Am2+Bm.

∵p+q=m+n，

應用舉例練習：

1.在等差數列{an}中，若a6+a9+a12+a15=20，求S20.

2.等差數列{an}的前10項的和為150， 其中項數為奇數的各項和為120，求第六項.

3.一等差數列的前10項之和為100，前100項的和為10，則前110項的和為( ).

A.-90 B.90 C.-110 D. 110

4.等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為( ).

A.130 B.170 C.210 D.260

5.如果等差數列{an}的前4項和是2，前9項和是-6，求其前n項的和Sn.

6.已知數列{an}是等差數列，Sn是其前n項和，設k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數列嗎？