關(guān)于探索解題捷徑的一種思考方法
——全特征表述解題法的說(shuō)明

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114012)

數(shù)學(xué)教學(xué)最大特點(diǎn)是重視解題思想方法的傳授與積累，所以師生都熱衷于積累解題方法和用方法引領(lǐng)解題.但如果我們對(duì)解題方法積累所造成弊端沒(méi)有清醒的認(rèn)識(shí)，那么，有時(shí)候后果將不堪設(shè)想，請(qǐng)看下面題例.

例題設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1，對(duì)于任意x∈[1,3]，f(x)<-m+5恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解題分析解法一由已知得，只需mx2-mx-6+m<0對(duì)于任意x∈[1,3] 恒成立即可.這是我們?cè)偈煜げ贿^(guò)的問(wèn)題了.思路馬上出來(lái)：當(dāng)m=0時(shí)，顯然成立.當(dāng)m≠0時(shí)，分m正、負(fù)，再討論對(duì)稱(chēng)軸與[1,3]的三種位置關(guān)系(具體數(shù)學(xué)式子略去).這可謂是最一般、最常見(jiàn)的方法，也是解決這類(lèi)問(wèn)題的通用方法.顯然，用這種方法解題要討論七次，運(yùn)算量也很大，所以，此種解法不僅敘述求解過(guò)程十分繁瑣，如果是考試時(shí)遇到這種情況，將更加糟糕.

解法二的思路是注意到本題中二次三項(xiàng)式具備一次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)均為m這一特征，所以通過(guò)不等式兩邊除m可化為一次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)均為常數(shù)(在此只需討論m正、負(fù)即可，運(yùn)算量也很小)，這樣對(duì)稱(chēng)軸就是定值，自然就不用討論.

對(duì)比而言，易知解法二、解法三的簡(jiǎn)捷性選擇、確定解題方法前，先思考題中已知和結(jié)論是否具有什么特征(特殊性)，并抓住其特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化(化簡(jiǎn))，再求解，而不是直接套用哪種解題方法去解題.正是這種思考，才能帶來(lái)簡(jiǎn)捷的解法.

從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作同仁都知道，簡(jiǎn)捷的解題思路和方法不僅提高解題效率，更是解題者追求的目標(biāo).從上例就看出借助“全特征表述解題法”這種思想方法尋找解題途徑，以及其捷徑性存在的原因.

什么是“全特征表述解題法”？“全特征表述解題法”是筆者創(chuàng)造出的詞匯，將其界定為：在解題思路選擇前，盡可能多地全面挖掘發(fā)現(xiàn)題目中已知和結(jié)論的特征，再根據(jù)所挖掘出的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化(化簡(jiǎn))，然后再選用、確定解題方法.而不被題目表象所迷惑，簡(jiǎn)單直接套用某種定勢(shì)的方法.換句話說(shuō)，就是在解決具體問(wèn)題中，應(yīng)注意盡量回避直接選擇一般的、具有通用共性的解題方法直接去求解；而是在全面挖掘其題目中已知條件和結(jié)論的特征后，再結(jié)合其特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，再選擇公式和解題方法去求解.為便于理解，請(qǐng)看下面舉例：

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線l的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

解題分析問(wèn)題(1)比較簡(jiǎn)單，解題分析略.

問(wèn)題(2)、此問(wèn)題是證明角相等.回顧高中數(shù)學(xué)教學(xué)中證角相等的方法有：向量中的求角公式、平面幾何中的三角形全等、三角函數(shù)中通過(guò)三角函數(shù)值相等證角相等、解析幾何中的兩條直線夾角公式、斜率公式等.

回到本題全面挖掘題中條件和結(jié)論的特征：結(jié)論中角∠OMA、∠OMB的特征是兩條直線與x軸相交、且對(duì)稱(chēng)交叉產(chǎn)生的.而直線的斜率既能描述直線的傾斜程度，又能揭示直線與x軸的夾角關(guān)系.所以說(shuō)直線的斜率是包含本題所證明的結(jié)論中特征最多的量.因此，從兩條直線的斜率k1、k2來(lái)思考問(wèn)題的解決應(yīng)該是比較簡(jiǎn)捷的方法.即通過(guò)斜率互為相反數(shù)(即k1+k2=0)來(lái)證明這兩個(gè)角相等(∠OMA=∠OMB)應(yīng)該是眾多解法中比較簡(jiǎn)捷的，事實(shí)也是如此(具體運(yùn)算和比較留給讀者，這里就不進(jìn)行具體運(yùn)算比較了).

解題分析求離心率從解題方法來(lái)看，一是由已知條件分別求出a、c旳值；另一個(gè)是求出a、c的關(guān)系式.本題由題意知，應(yīng)該是采取求出a、c關(guān)系式的方法求解.

由題中的條件知，借助線段的長(zhǎng)度建立a、c關(guān)系式是顯然的.回顧高中數(shù)學(xué)教學(xué)中求線段長(zhǎng)的方法，有以下方法：

橢圓的定義等概念、兩點(diǎn)間距離公式、正余弦定理、銳角三角函數(shù)、平面點(diǎn)的坐標(biāo)與長(zhǎng)度的關(guān)系等.回到本題全面挖掘題中條件和結(jié)論的特征：根據(jù)已知條件及畫(huà)出的幾何圖形知，其條件的特征是“題中給出了等腰三角形一角(與x軸相關(guān)的角)和其邊長(zhǎng)；所以，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)后， 剛好由∠PF2F1=120°的外角、線段PF2及相關(guān)的坐標(biāo)構(gòu)成直角三角形的邊，也就是說(shuō)此直角三角形剛好反映出了P點(diǎn)坐標(biāo)、半焦距、夾角之間的關(guān)系.經(jīng)過(guò)對(duì)題中條件和結(jié)論的全特征挖掘后，可以說(shuō)利用構(gòu)造直角三角形解銳角三角函數(shù)的方法求解是比較簡(jiǎn)捷的.事實(shí)也確實(shí)如此(具體解題過(guò)程略).

舉例3 (2018年理科全國(guó)二卷19題)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求過(guò)A、B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

解題分析問(wèn)題(1)比較簡(jiǎn)單，解法分析略.

問(wèn)題(2)首先全面挖掘題中條件和結(jié)論的特征：題中大量涉及平面幾何中圓，所以圓的性質(zhì)一定是其鮮明特征.A、B是圓上的點(diǎn)，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上；圓的半徑、弦心距與AB弦的一半可構(gòu)成直角三角形.到此，這些特征對(duì)求解此題已足夠用了.

設(shè)想，如果我們采取解析幾何中常見(jiàn)的做法：即設(shè)圓心M坐標(biāo)、設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)(老師平時(shí)總是強(qiáng)調(diào)，解析幾何要敢于設(shè)坐標(biāo))；然后根據(jù)圓上A、B兩點(diǎn)到圓心距離等于圓半徑和圓心到準(zhǔn)線距離等于半徑，列方程組；由此再求出圓心和半徑，進(jìn)而得到圓的方程.顯然，解題過(guò)程很繁瑣、運(yùn)算量也比較大，此法能解該問(wèn)題，但不可取.

對(duì)比兩者解法分析：后者解法的思考是解析幾何中最常規(guī)的想法，解法太具一般化了，不具備該題的特征，而具有一般性.前者解法是在充分挖掘題中條件、結(jié)論特征的所能提供的知識(shí)背景后，再將解析幾何方法與平面幾何方法進(jìn)行適度整合，提出解題方案.所以解法具有本題的鮮明特征，其解法自然簡(jiǎn)捷.

類(lèi)似的例子還很多，可以說(shuō)包括高中數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容，由于其基本思想是一致的，所以在此不多贅述.至此，本文介紹了如何尋求解題簡(jiǎn)捷途徑的一種思考，提出對(duì)題目進(jìn)行全特征挖掘后，再確定解題方法這一解題策略.同時(shí)，也強(qiáng)調(diào)了在解題時(shí)，不要硬套某種解題方法等解題注意事項(xiàng).供大家參考.