關于探索解題捷徑的一種思考方法
——全特征表述解題法的說明

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學 114012)

數學教學最大特點是重視解題思想方法的傳授與積累，所以師生都熱衷于積累解題方法和用方法引領解題.但如果我們對解題方法積累所造成弊端沒有清醒的認識，那么，有時候后果將不堪設想，請看下面題例.

例題設函數f(x)=mx2-mx-1，對于任意x∈[1,3]，f(x)<-m+5恒成立，求實數m的取值范圍.

解題分析解法一由已知得，只需mx2-mx-6+m<0對于任意x∈[1,3] 恒成立即可.這是我們再熟悉不過的問題了.思路馬上出來：當m=0時，顯然成立.當m≠0時，分m正、負，再討論對稱軸與[1,3]的三種位置關系(具體數學式子略去).這可謂是最一般、最常見的方法，也是解決這類問題的通用方法.顯然，用這種方法解題要討論七次，運算量也很大，所以，此種解法不僅敘述求解過程十分繁瑣，如果是考試時遇到這種情況，將更加糟糕.

解法二的思路是注意到本題中二次三項式具備一次項、二次項系數均為m這一特征，所以通過不等式兩邊除m可化為一次項、二次項系數均為常數(在此只需討論m正、負即可，運算量也很小)，這樣對稱軸就是定值，自然就不用討論.

對比而言，易知解法二、解法三的簡捷性選擇、確定解題方法前，先思考題中已知和結論是否具有什么特征(特殊性)，并抓住其特征進行轉化(化簡)，再求解，而不是直接套用哪種解題方法去解題.正是這種思考，才能帶來簡捷的解法.

從事數學教學工作同仁都知道，簡捷的解題思路和方法不僅提高解題效率，更是解題者追求的目標.從上例就看出借助“全特征表述解題法”這種思想方法尋找解題途徑，以及其捷徑性存在的原因.

什么是“全特征表述解題法”？“全特征表述解題法”是筆者創造出的詞匯，將其界定為：在解題思路選擇前，盡可能多地全面挖掘發現題目中已知和結論的特征，再根據所挖掘出的特征進行轉化(化簡)，然后再選用、確定解題方法.而不被題目表象所迷惑，簡單直接套用某種定勢的方法.換句話說，就是在解決具體問題中，應注意盡量回避直接選擇一般的、具有通用共性的解題方法直接去求解；而是在全面挖掘其題目中已知條件和結論的特征后，再結合其特征進行轉化后，再選擇公式和解題方法去求解.為便于理解，請看下面舉例：

(1)當l與x軸垂直時，求直線l的方程;

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

解題分析問題(1)比較簡單，解題分析略.

問題(2)、此問題是證明角相等.回顧高中數學教學中證角相等的方法有：向量中的求角公式、平面幾何中的三角形全等、三角函數中通過三角函數值相等證角相等、解析幾何中的兩條直線夾角公式、斜率公式等.

回到本題全面挖掘題中條件和結論的特征：結論中角∠OMA、∠OMB的特征是兩條直線與x軸相交、且對稱交叉產生的.而直線的斜率既能描述直線的傾斜程度，又能揭示直線與x軸的夾角關系.所以說直線的斜率是包含本題所證明的結論中特征最多的量.因此，從兩條直線的斜率k1、k2來思考問題的解決應該是比較簡捷的方法.即通過斜率互為相反數(即k1+k2=0)來證明這兩個角相等(∠OMA=∠OMB)應該是眾多解法中比較簡捷的，事實也是如此(具體運算和比較留給讀者，這里就不進行具體運算比較了).

解題分析求離心率從解題方法來看，一是由已知條件分別求出a、c旳值；另一個是求出a、c的關系式.本題由題意知，應該是采取求出a、c關系式的方法求解.

由題中的條件知，借助線段的長度建立a、c關系式是顯然的.回顧高中數學教學中求線段長的方法，有以下方法：

橢圓的定義等概念、兩點間距離公式、正余弦定理、銳角三角函數、平面點的坐標與長度的關系等.回到本題全面挖掘題中條件和結論的特征：根據已知條件及畫出的幾何圖形知，其條件的特征是“題中給出了等腰三角形一角(與x軸相關的角)和其邊長；所以，設P點坐標后， 剛好由∠PF2F1=120°的外角、線段PF2及相關的坐標構成直角三角形的邊，也就是說此直角三角形剛好反映出了P點坐標、半焦距、夾角之間的關系.經過對題中條件和結論的全特征挖掘后，可以說利用構造直角三角形解銳角三角函數的方法求解是比較簡捷的.事實也確實如此(具體解題過程略).

舉例3 (2018年理科全國二卷19題)設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與交于A、B兩點，|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求過A、B且與C的準線相切的圓的方程.

解題分析問題(1)比較簡單，解法分析略.

問題(2)首先全面挖掘題中條件和結論的特征：題中大量涉及平面幾何中圓，所以圓的性質一定是其鮮明特征.A、B是圓上的點，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上；圓的半徑、弦心距與AB弦的一半可構成直角三角形.到此，這些特征對求解此題已足夠用了.

設想，如果我們采取解析幾何中常見的做法：即設圓心M坐標、設A、B點坐標(老師平時總是強調，解析幾何要敢于設坐標)；然后根據圓上A、B兩點到圓心距離等于圓半徑和圓心到準線距離等于半徑，列方程組；由此再求出圓心和半徑，進而得到圓的方程.顯然，解題過程很繁瑣、運算量也比較大，此法能解該問題，但不可取.

對比兩者解法分析：后者解法的思考是解析幾何中最常規的想法，解法太具一般化了，不具備該題的特征，而具有一般性.前者解法是在充分挖掘題中條件、結論特征的所能提供的知識背景后，再將解析幾何方法與平面幾何方法進行適度整合，提出解題方案.所以解法具有本題的鮮明特征，其解法自然簡捷.

類似的例子還很多，可以說包括高中數學各部分內容，由于其基本思想是一致的，所以在此不多贅述.至此，本文介紹了如何尋求解題簡捷途徑的一種思考，提出對題目進行全特征挖掘后，再確定解題方法這一解題策略.同時，也強調了在解題時，不要硬套某種解題方法等解題注意事項.供大家參考.