陶瓷基FGM材料線形變厚度圓板的熱后屈曲

李清祿, 段鵬飛, 張靖華

（蘭州理工大學 理學院，蘭州 730050）

功能梯度材料(functionally graded material，FGM)最早是由日本科學家為航空航天結構元件能夠適應高溫梯度環境而提出的。FGM材料通常是由一個表面的純陶瓷按照成分多少連續梯度變化到另一個表面的一種新型復合材料。這種梯度的變化具有抵抗高溫梯度、減小應力集中等優點。FGM結構的出現立刻吸引了學者們的關注，成為航空航天等領域的研究熱點[1-3]。

Liviu等[4]研究了FGM梁處于高溫環境中的振動和屈曲問題，得出溫度對FGM梁的屈曲特性與振動的頻率有不同程度的影響。Najafizadeh和Eslami[5]研究了軸對稱FGM圓板受到面內徑向壓力和熱載荷作用下的屈曲和穩定性問題，并給出了問題的解析解，分析了不同徑向壓力和熱載荷下的屈曲臨界載荷。Ma和Wang[6]詳細研究了FGM圓板在機械和熱載荷下的彎曲和屈曲力學響應，并給出了圓板彎曲的中心撓度及屈曲特性曲線。Shen[7]利用雙參數攝動方法研究了壓電FGM剪切板在熱環境中的后屈曲行為，并對比分析了熱-電作用的FGM板屈曲臨界載荷。Zhang[8]考慮了材料的溫度相關性，和雙參數彈性地基FGM橢圓板的非線性彎曲行為以及不同參數地基對FGM橢圓板中心撓度的影響。宋健和溫衛東[9]采用實驗的方法研究了樹脂基復合材料在不同溫度環境下的拉伸及面內剪切力學性能，分析了溫度變化對材料的彈性模量、強度的影響規律，并提出了預測力學模型。張坤等[10]采用雙道次熱壓縮實驗，研究了溫度對新型復合材料力學行為的影響。

以上研究都是等厚度圓板的力學行為，由于制造技術和材料科學的發展，人們能將圓板加工成各種變厚度的圓板以滿足航空航天工程領域的要求，目的是通過改變幾何尺寸和減輕自重。尤其FGM材料應用在航空技術的興起，變厚度FGM結構力學行為的研究具有現實的工程背景。周續等[11]以航空發動機機匣為對象，研究了材料切除對機匣銑削動力學與穩定性的影響。王云[12]用DQ法研究了變厚度Mindlin圓形板的軸對稱彎曲問題，為工程結構優化提供了依據。文獻[13]分析了徑向梯度功能材料變厚度彈性地基扇形板的穩定性問題，分析了厚度變化對扇形板屈曲臨界載荷的影響。Efraim和Eisenberger[14]研究了均勻變厚度環板和FGM環板的振動特性，并對比分析了梯度指數、厚度變化系數對環板振動無量綱頻率的影響。

總的來看，功能梯度材料變厚度圓板的靜動態響應方面的研究十分有限，尤其在熱環境中的穩定性及振動力學特性鮮有涉足。本工作基于哈密頓原理，建立陶瓷基FGM彈性薄圓板在熱環境中的后屈曲控制微分方程，采用打靶法研究不同厚度變化系數以及不同陶瓷基成分含量下FGM圓板的后屈曲力學行為，詳細分析厚度變化系數，陶瓷基梯度指標對圓板屈曲載荷以及后屈曲行為的影響。

1 力學分析模型

考慮一個半徑為R，沿徑向方向線形變厚度變化的復合材料圓板。徑向位移分量為u 。坐標系統 (r,θ,z)置于圓板幾何中面上，設r為徑向且由板中心向外為正，θ為環向，z坐標垂直于中面，如圖1所示。假設圓板厚度從板中心到外邊界按式（1）所示線形變化：

式中：h0為板中心處的厚度；η為厚度變化系數。

圖1 變厚度陶瓷基-FGM圓板Fig.1 Ceramic based-FGM circular plate with variable thickness

1.1 陶瓷基FGM材料物性參數描述

考慮FGM圓板為陶瓷基復合材料板，板的下面為純陶瓷(ZrO2)，陶瓷材料的體積分數可用下面的表達式給出

式中：h為圓板的厚度；p為非負實數；p代表陶瓷基功能梯度材料從上表面過渡到下表面的梯度指標。p=0代表純陶瓷材料，隨著p的增加，板內陶瓷材料的成分逐漸減少，直到變成純金屬。

采用Voigt等應變線性混合率模型，FGM材料的等效物性參數彈性模量E、熱膨脹系數α和熱傳導率K描述為

式中：m和c分別代表金屬和陶瓷的成分；Em，Ec為金屬和陶瓷的彈性模量；αm，αc為金屬和陶瓷的熱膨脹系數；Km，Kc為金屬和陶瓷的熱導率；Vm，Vc為金屬和陶瓷的體積分數；v為材料泊松比。

1.2 溫度場描述

陶瓷一側和金屬一側的溫度分別記為Tc和Tm，且兩側溫度都均勻分布，板內溫度沿厚度變化，基礎溫度為T0= 300 K。其中升溫滿足一維熱傳導方程

邊界條件為：

式（7）在邊界條件（8）下的冪級數形式的解為

其中

2 控制微分方程

經典板理論所基于的位移場為：

式中：w為z方向的位移；t代表時間。

薄膜力和彎矩可表述為

其中，剛度系數以及熱薄膜力和熱彎矩為

將式（3）代入式（15），（16），通過積分得到

φi(i=1,2,3,4,5)為無量綱系數。應變能變分：

式（19）中， εr,εθ和 σr,σθ分別為徑向和環向的應變和應力。動能變分：

Hamilton原理：

將方程（19），（20）代入方程（21），再利用式（13），（14），并令各量與時間無關，可得到如下無量綱形式的控制方程，即功能梯度圓板的靜態平衡方程。

上述方程的無量綱形式如下

考慮周邊夾緊圓板，其邊界條件描述為

圖2給出了基礎溫度Tc= 300 K，Tm= 300 K時變厚度板中心撓度W(0)與無量綱熱載荷τ之間的特征關系曲線。由圖2可以看出，在給定梯度指標p下，隨熱載荷的增加，變厚度中心撓度非線性增加，隨著梯度指標的增大，板的臨界載荷增大，說

3 數值模擬及討論

由于打靶法在求解兩點邊值問題中計算精度高和收斂快，所以這里選擇打靶法求該問題的數值解，打靶法的具體求解可參看文獻[15]。計算中，陶瓷材料和金屬材料的物性參數，即彈性模量、泊松比、熱膨脹系數、導熱系數分別為

陶瓷(ZrO2): Ec=132.2 GPa， νc=0.31，αc=13.3×10-6K-1，Kc=1.78 W/m·K，

金屬(Ti-6Al-4V)： Em=122.7 GPa， νm=0.2882，αc=7.43×10-6K-1，Kc=6.10 W/m·K明FGM板具有更大的穩定性，同時也可以通過調節陶瓷基成分的含量來改變圓板的臨界載荷。

圖2 W(0)-τ 關系曲線Fig.2 Relationship curves of τ and W(0)

圖3 給出了陶瓷基FGM圓板的梯度指標為p = 0.1時，不同厚度變化系數η下，均勻升溫場中的平衡路徑特性曲線。不難看出，在相同梯度指標下，板的厚度變化對臨界載荷并沒有影響，但是過屈曲后平衡路徑是不同的，隨著η的增加，中心撓度增加。

圖3 不同厚度變化系數下W(0)-z關系曲線Fig.3 Relationship curves of z and W(0) for different η

圖4 為均勻升溫和非均勻升溫Tr= 2時，板中心撓度與無量綱熱載荷τ之間的特征關系曲線。通過比較看出，純陶瓷材料和陶瓷基功能材料在非均勻升溫下的臨界熱載荷小于均勻升溫下的臨界熱載荷。

圖4 均勻升溫和非均勻升溫下板中心撓度和熱載荷的比較Fig.4 Comparison of central deflection and thermal load of plates under uniform heating and non-uniform heating

由圖4可知，板的臨界熱載荷并不取決于厚度變化系數，主要取決于板中心的厚徑比，即圓板厚度和半徑的比值，過屈曲路徑曲線與橫坐標的交點即為板的屈曲臨界熱載荷，可以看出在厚度變化系數分別取0.1，0.5，1，1.5，2時，與橫坐標的交點不變，因此圓板的屈曲臨界載荷主要取決于板中心的厚徑比。表1給出了不同板中心厚徑比δ下，不同指標p時，圓板的屈曲臨界溫度參數，其定義為

表1 不同 δ 下FGM圓板臨界溫度參數Table1 Values of critical temperature parameter with different δ

可以看出，給定中心厚徑比時，板的臨界溫度隨梯度指標的增加而增加，在一定的梯度指標下，板的臨界溫度隨中心厚徑比的增加而減小，即板線形變化的斜率越大相應的臨界溫度越高。

圖5為不同上下表面升溫比下，即非均勻升溫下的熱臨界載荷與最大撓度之間的關系。顯然，上下表面升溫比越大，熱臨界載荷會隨之降低。同樣的熱載荷下，變形越大。

圖5 不同Tr下的W(0)-τ (p = 0.5，η = 0.2)Fig.5 Relationship curves of τ and W(0) for different Tr(p = 0.5, η = 0.2)

圖6 為p = 0.1，上下表面升溫Tr= 1情況下，不同截面變化系數η下FGM圓板的后屈曲構形圖。顯然，η的不同取值對板的變形有很大影響。η越大，即板中心厚度和外邊厚度變化的斜率越大，板的變形越大。圖7為p = 0.5，截面變化系數η = 0.2，τ = 30情況下，上下表面升溫Tr取不同值時，陶瓷基圓板的后屈曲平衡路徑構形圖。可以看出，隨升溫比的增加，板的變形增加，且非均勻升溫時板產生的撓度大于均勻升溫時的。

圖6 不同 η 下FGM板的構形(τ = 20)Fig.6 Configurations of FGM plate for different values of η(τ = 20)

圖7 不同Tr下FGM板的構形(τ = 30)Fig.7 Configurations of FGM plate for different values of Tr(τ = 30)

4 結論

(1)當厚度變化系數η為零時，即等厚度的陶瓷基圓板在基礎溫度場中，隨著梯度指標p的增加，熱屈曲載荷增加，板的變形減小。說明隨陶瓷成分的減少，板具有更大的穩定性。

(2)變厚度斜率的改變并不會影響熱臨界載荷的值，但會影響到屈曲以后的平衡路徑，隨著η的增加，中心撓度也增加。

(3)陶瓷基FGM材料在非均勻升溫下的臨界熱載荷小于均勻升溫下的值，板的臨界溫度隨中心厚徑比的增加而減小，陶瓷表面和金屬表面非均勻升溫比越大，熱臨界載荷反而越小。

(4)厚度變化系數和上下表面升溫比對陶瓷基F GM圓板的后屈曲特性有重要影響。