一道動點類競賽不等式的加強與推廣

費紅亮 曾善鵬

(1.杭州高級中學 310003；2.杭州電子信息職業學校 310021)

1 結論部分

本文符號約定如下：P是△ABC內任意一點，a,b,c是三角形三邊，R表示△ABC外接圓半徑，S表示△ABC的面積，P向三邊BC,AC,AB作高線分別交邊于D,E,F三點，PD,PE,PF分別用r1,r2,r3表示，PA,PB,PC分別用R1,R2,R3表示.

圖1

2018年韓國數學競賽中給出了如下一道幾何不等式.

不等式P是△ABC內任意一點，S1，S2，S3分別表示△PBC，△PAC，△PAB的面積，求證：

(1)

首先將不等式(1)進行加強得到：

結論1P是△ABC內任意一點，O為△ABC外接圓圓心，S1，S2，S3分別表示△PBC，△PAC，△PAB的面積，求證：

(2)

接著將不等式(1)進行n元推廣得到：

結論2P是△ABC內任意一點,S1，S2，S3分別表示△PBC，△PAC，△PAB的面積，自然數n≥1，則

(3)

實際上，我們可以得到不等式(1)加強的推廣形式，其結論如下：

結論3P是△ABC內任意一點，O為△ABC外接圓圓心,S1，S2，S3分別表示△PBC，△PAC，△PAB的面積，自然數n≥1，則

(4)

注易知結論1和結論2是結論3的推論，因此要證明以上三個結論，只要證明結論3即可.

2 引理部分

引理1(慣性矩不等式)[1]若x,y,z為任意實數，則

(5)

當且僅當x∶y∶z=ar1∶br2∶cr3取到等號.

引理2(Gergonne公式)[2]P是△ABC內任意一點，O為△ABC外接圓圓心，P向三邊BC,AC,AB作高線分別交邊于D,E,F三點，S，S△DEF分別表示△ABC,△DEF的面積，則

3 證明部分

結論3的證明由引理1知，若取x=ar1，y=br2,z=cr3時，不等式(3)取到等號，即

=(br2×cr3)a2+(cr3×ar1)b2+(ar1×br2)c2.

=2R(r2r3a+r3r1b+r1r2c)，

所以得到恒等式

(6)

因為PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,

所以有∠A+∠EPF=π,∠B+∠DPF=π,

∠C+∠DPE=π,

結合正弦定理以及三角形面積公式可得

2R(r2r3a+r3r1b+r1r2c)

=2R(2r2r3RsinA+2r3r1RsinB+r1r2RsinC)

=4R2(r2r3sinA+r3r1sinB+r1r2sinC)

=4R2(r2r3sin∠EPF+r3r1sin∠DPF+

r1r2sin∠DPE)

=4R2(2S△EPF+2S△DPF+2S△DPE)

=8R2S△DEF，

所以得到

2R(r2r3a+r3r1b+r1r2c)=8R2S△DEF

(7)

所以由恒等式(6)(7)可得

(8)

因此，由柯西不等式、冪平均不等式、恒等式(8)以及引理2可得

結論3得證.

4 猜想部分

在結論2中，分母的次數是2次，如果將2次換成任意正整數次，結論是否還成立，關于結論2，我們提出了如下猜想.

猜想P是△ABC內任意一點,S1，S2，S3分別表示△PBC，△PAC，△PAB的面積，自然數n≥1，m≥1，則有