高考數學科批判性思維考查研究*

趙 軒 任子朝 陳 昂

(教育部考試中心 100084)

習近平總書記指出：“縱觀人類發展歷史，創新始終是一個國家、一個民族發展的重要力量，也始終是推動人類社會進步的重要力量[1].”創新是發展的原動力.在信息化、全球化高速發展的當今時代，國家對創新型人才提出了新的更高的要求.作為創新型人才最重要的能力特征之一，批判性思維逐漸成為21世紀教育的重要目標.越來越多的人認識到其重要性，并致力于將其融入基礎教育和高等教育的人才培養過程之中.

2014年9月，《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》明確指出深化高考考試內容改革的方向，“依據高校人才選拔要求和國家課程標準，科學設計命題內容，增強基礎性、綜合性，著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力[2].”引導學生在中學階段培養獨立思考和解決問題的能力，是新高考數學科內容改革的方向與目標.其中就包括對于批判性思維的考查.

批判性思維由兩個維度組成，在情感態度層面包括相信理性、尊重事實、謹慎判斷、公正評價、敏于探究、追求真理等一系列思維品質；在認知層面包括對概念、方法、標準、證據等要素進行闡釋、分析、評價與推理等一系列技能[3].目前，還沒有公認的統一的批判性思維的定義，最廣泛被使用的含義來源于20世紀90年代美國哲學學會面向心理學家、哲學家和教育研究者，運用Delphi方法研究的成果.該研究的結果認為批判性思維特點是：“有目的的、自律性的判斷，通過這種判斷得到針對它所依據的那些證據性、觀念性、方法性、標準性或情境性思考的闡釋、分析、評估、推導以及解釋[4]”.數學科作為重要的基礎科學學科和工具學科，對培養學生歸類、論證分析、判斷評價、設想多種可能性、導出結論、說明結果等批判性思維技能起到獨特的作用[5].

在數學科高考中，強調批判性思維，就是要引導考生獨立思考、樹立不盲從的科學精神、清晰而有條理的分析問題，追求思維過程的合理性.近幾年的數學科高考試題對于批判性思維的考查進行了有益的探索，為高等學校選拔具有較好發展潛力的新生提供了有效的參考，對中學教學培養創新意識發揮了良好的導向作用.

1 增強開放性，引導學生自主探究

在許多領域，批判性思維表現為勇于提出不同的觀點和理論，從而引發人們的進一步思考.在數學學科中，發現和提出問題，通過部分已知信息對結論進行猜測，通過邏輯推理驗證猜想的探究過程，就是批判性思維的具體體現.新修訂的高中課程標準中，將數學探究活動列入到必修課程與選擇性必修課程之中，凸現了培養學生數學自主探究能力的重要性[6].數學科高考主動對接課程標準的變化，通過不斷增強試題的開放性，深入考查批判性思維，引導學生自主探究，培養創新精神.近幾年，許多題目都展現出開放性的命題思路，不在題目中限定結論，給學生留出思考、分析、判斷的空間，體現研究型學習的理念.

例1(2018年I卷文科第17題)

(1)求b1，b2，b3；

(2)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(3)求{an}的通項公式.

例1是解答題的起點題，難度并不高，將等比數列的概念與通項公式作為考查的重點，體現了新課程標準對數列學習的基本要求.試題在所求數列中加入了討論，判斷的問題，通過設問展現了思維的過程.第一問先算一算b1，b2，b3，通過觀察發現這三個數之間有什么規律；第二問想一想，驗證發現的規律是否正確；第三問再算一算，通過找到的規律求出{an}的通項公式.三個小問的設計層層遞進，逐步深入，充滿了探究的味道，充分體現了新課程標準研究型學習的理念.試題的數量關系與計算過程簡單，雖難度不高但展現了一個簡單探究問題的完整思維過程，體現出很好的教學導向.

例2(2016年Ⅰ卷文科第20題)

在直角坐標系xOy中，直線l：y=t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H.

(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由.

2 體現綜合性，加強理性思維考查

批判性思維是一種識別、評價思維過程中各種推理論證的能力，從是否合理的角度來評判推理與論證.高中數學教學中培養學生的批判性思維，很重要的一點就是樹立學生尊重事實和依據，嚴謹務實的科學態度，培養運用科學的方法認識事物、解決問題的思維習慣與能力[8].數學具有嚴謹的理論和邏輯體系，是培養理性思維與批判性思維的良好載體.在高考中通過對邏輯推理和理性思維的考查，充分展現學生對于推理和論證的確認、分析、評價、展示的全過程，從而衡量其批判性思維的發展水平.而對于理性思維的考查，突出體現在綜合分析問題的過程之中，通過復雜情境的設計增強題目綜合性，考量學生是否能夠根據已知信息，從合理的角度思考問題，用合理的方法解決問題.

例3(2018年I卷理科第12題)

已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

例3以考生熟悉的正方體為背景，以線面關系為切入點，使學生在觀察與實驗中不斷調整正方體截面的位置，靈活應用線線角、線面角、面面角等相關知識，充分發揮自己的想象力和創新能力，構建符合試題要求的正方體的截面圖形正六邊形.試題要求考生靈活運用轉化思想、對稱思想來分析研究問題，題設條件可化歸為過正方體的同一頂點三條棱與截面α所成角相等的問題探索，抓住問題的本質特征，提高思維的有效性.解題思路可以從多個角度出發，既可以用幾何方法來做，也可以轉化為求函數最值的問題，體現了知識的綜合運用，對立體幾何教學如何更好地培養學生的核心素養發揮積極的導向作用.

例4(2017年I卷理科第16題)

如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形. 沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D,E,F重合，得到三棱錐. 當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.

例4以立體幾何題目為背景，綜合考查了簡單幾何體的空間直觀圖與平面展開圖，解三角形，求函數最值等多方面內容.看似是幾何問題，但其難點在于選取恰當的體積函數模型來計算最值.不同的變量選擇，會得到不同的函數模型；用不同函數模型進行計算，難度也存在較大差異.因此，如何確定合理的解題策略和建模策略，選取相對簡單的函數模型簡化計算，是本題考查的關鍵.試題設計新穎，突出體現了綜合性、應用性與創新性，考查了數學運算與數學建模等數學核心素養，對于在復雜情境綜合分析問題具有很好的導向作用[9].

需要指出的是，高考中所強調的綜合性主要是指數學知識體系的內部聯系，數學各分支內容的相互交叉與滲透[10].通過考查各分支內容之間的聯系，增強考試內容的綜合性，從而引導學生注重認識事物整體結構，理解事物變化發展過程，從正確的角度分析具體問題，通過嚴密的論證推理解決問題.鼓勵學生從整體上分析各種現象的本質和規律，建構完整的知識框架和合理的認知結構.

3 突出創新性，強調合理運用知識

批判性思維能夠使人們認識到事物結構的多樣性.推理論證并沒有絕對的對錯之分，前提是否正確、分析方法是否得當、分析過程中蘊含著怎樣的假設、這些假設是否合理都會對推理論證的結論產生影響.在高中階段的數學學習過程中，一個最大的誤區就是通過機械刷題進行學習，解決問題時習慣性的依據刷題的經驗，生搬硬套自己熟悉的知識和方法，而忽略了這些知識和方法的使用是否合理.對于大多數數學問題來說，都沒有所謂放之四海而皆準的絕對正確的方法，即便是對于數學通性通法的學習，也要在理解掌握的基礎上靈活運用，而不是遇到所有問題都死板地套用這些通性通法.數學科高考在試題設計、素材選擇等方面不斷探索創新，力求創設新穎的情境，提出新穎的問題，希望以此為風向標，引導基礎教育培養學生靈活、合理地應用數學知識與方法解決問題的能力，進而促進其創造性思維能力與創新意識的提高[11].

例5(2018年I卷文、理科第3題)

某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番. 為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：

建設前經濟收入構成比例

建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是

A．新農村建設后，種植收入減少

B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C．新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D．新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半

利用統計圖顯示數據是數據處理的重要技術手段，各種統計圖都有其適用場景和獨特作用.比如例5中考查的餅圖，在顯示總體中各種組成成分所占比例方面，具有簡單、直觀、易懂的優勢.近年的高考試題中，還曾經出現過雷達圖、柱狀圖等統計圖表.課程標準中數據處理的核心素養對于高中統計教學提出了更高的要求，通過對數據的整理，選取合適的統計圖顯示數據，解讀統計圖，并從中提取信息是統計的基本技能.對于學生來說，如何在復雜信息中提取有用的信息，獲得邏輯推理的合理論據，則需要具有獨立的批判性思維.本題要求考生讀懂統計圖，并從圖中獲得相關的信息，重點考查了統計學的核心素養，考生在此過程中還能體會到統計學中圖形技術的作用與魅力.題目在增強學生學習數學、統計學的興趣，引導中學加強學科核心素養的培養，提高數學應用能力和應用意識等方面具有很好的引導作用.

例6(2017年I卷理科第12題)

幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件．為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪．那么該款軟件的激活碼是

A．440 B．330 C．220 D．110

例6通過合理設計，將等差數列和等比數列有機地結合在一起，具有一定的難度.考生在解題過程中，需要知道求什么，通過什么方法可以求.這就要求考生有扎實的數列認知和轉化能力，能夠熟練掌握并綜合運用等差數列、等比數列的基礎知識.試題打破了數列題目的常規，題目解答避開了解題套路與現成的方法，同時又展現了數學的巧妙性和趣味性，有助于培養和保持學生不斷學習數學的興趣[9].

4 增加思維量，考查理解分析能力

2018年數學科高考釋放了“一多一少”的明顯信號，即多考一點想的，少考一點算的[12].減少試題解答過程中數值計算的復雜性，更清晰地考查考生是否掌握題目中蘊含的數學思想方法.通過增加試題思維量的比重為批判性思維的考查提供平臺，鼓勵考生創造性的進行思考，靈活運用所學知識分析和解決問題.尤為突出的是，在今年高考的概率統計題目中，采取了“重心后移”的策略，將學生從數據準備階段的繁雜計算中解放出來，在題目中提前對數據進行分類處理，把重點后移至對于數學模型的分析、理解、判斷之上.并且加大了對數據解釋的開放性，使學生擺脫標準答案的束縛，體現了靈活考查概率統計思想方法的設計目的.

例7(2018年Ⅱ卷文、理科第18題)

下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(1)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

例7的新穎之處在于，不要求考生根據數據計算求解，而是直接給出了回歸方程，要求考生對其進行分析和判斷，避免了繁瑣的計算，突出了對于概率統計基本思想、基本能力的考查.2018年III卷文、理科第18題也是在題目中做好了一部分數據整理工作，填寫好莖葉圖，要求考生在此基礎上分析數據，得出結論.這些題目減少了繁瑣的數據整理步驟，將考查重點放在運用概率統計思想方法分析和解釋數據之上，突出了考查重點，對于中學概率統計知識的教學具有良好的導向作用，引導教學從“解題”到“解決問題”能力的培養.

5 結語

高考立足于考查支撐學生終身發展和適應時代要求的能力.加強批判性思維考查，培養學生創新意識和獨立思考的能力，是時代賦予高考的歷史使命.數學科高考要結合學科特點，通過增強考試的開放性、綜合性、創新性，引導考生創造性地思考問題，靈活地運用所學知識、方法解決問題.因此應深化創新試題設計方式，打破機械刷題的套路和常規，通過降低刷題收益切實減輕學生負擔，助推素質教育發展.進一步鼓勵學生主動思考，激發學生的想象力與好奇心，培養學習數學的興趣，釋放明確信號引導基礎教育步入良性循環的軌道，并為高等院校選拔人才提供有力支持.