核心素養觀下的主題單元起始課教學實踐——以復數單元起始課為例

孫軍波

(浙江省溫嶺中學 317500)

1 引言

開展基于核心素養的教學，需要把一些具有邏輯聯系的知識點放在一起進行整體設計，即進行整體的單元教學設計，這樣更有利于培育學生的核心素養．單元教學是撬動課堂教學轉型的一個支點，以單元為整體進行設計可以更好地理解知識從何處來，到何處去這一問題，通過單元教學對學生進行數學核心素養的培養和提升是高效的.

在實際教學中，實施整體單元的教學設計，需要綜合考慮各種影響和制約高中數學教學的有關因素或環節，特別是單元思想和現行教材的關系，班級授課制和整體教學設計落地的關系．從單元與現存教材的關系角度看，一類是不改變教材內容結構與編排，以單位為單元，強化教學內容分析、學生認知分析、教學目標制定、教學過程設計的整體性，使課時與課時之間的聯系更加緊密，例如本文中的復數；一類是以單元為單位，需要適當調整教材的內容結構，重新強化內容之間的邏輯關系，更好地突出教與學的整體性與系統性．另外受現行班級授課制的限制，較難在每節課中體現出單元的整體思想．筆者認為落實單元教學思想的關鍵是單元起始課的教學設計研究，起始課作為知識單元教學的序曲，是單元整體的引導性材料，它具有介紹本單元的內容、地位和作用的功能，是展現單元整體思想的較好載體．

2 單元起始課概念界定

基于學生最近發展區與發展學科核心素養切實需要的教學目標，根據課標、教材、學情在結構上的聯系，進行重新組合的“單元”第一課．單元更多的是課程/學習單位，非內容單位．單元的劃分標準不同，重組的單元也是不同的．若大單元與章的內容、結構保持一致，起始課有一定的相似性，但是單元起始課更突出整體(內容和研究方法的整體性)關聯性思維，它是以提升數學核心素養、促進學生深度學習為目標，即生本與培育核心素養為主；單元起始課與傳統的章起始課有很多共同之處，但章節起始課更多地關注將要學習什么知識、如何學、學了有什么用，即文本為主．

3 復數單元起始課再設計的緣由

復數在人教A版選修2-2第三章，新教材中位于主題三第二部分，在原有的數系的擴充、復數的概念和復數的代數形式的四則運算基礎上，補充了復數的三角形式等[1]．近幾年高考對復數的考查基本圍繞復數代數形式的四則運算，使得師生對復數知識單元不夠重視，僅僅考慮使用公式進行簡單計算，因此教師和學生對數系的擴充過程及復數的幾何意義的認識較為模糊．

在數學史上，虛數以及復數概念的引入經歷了一個曲折過程，其中充滿著數學家的想象力、創造力和不屈不撓的精神，對于培育學生對數學概念和思想方法的理解有著較好的作用．基于此我們對復數單元的起始課進行了再設計，力求找準復數概念產生的邏輯起點，揭示復數概念發展的邏輯主線，明晰定性刻畫復數幾何意義的必要性，把數系的擴充過程的思考作為復數概念建立的重要過程和階段來處理，重在探究數系擴充的原則、從而建立復數概念，同時深化對復數概念的幾何意義與四則運算間的聯系．

4 前期分析

4.1 教學內容分析

4.1.1知識產生的背景與固著點

復數起源于負數開平方問題，在復數誕生的早期，數學家并不愿意接受，認為這種數只是存在于“幻想之中”，直至德國數學家高斯用復平面上的點表示復數后并用向量解釋了復數的運算，復數才被廣泛接受．雖然有種說法虛數是為了解沒有實數解的二次方程式而想象出來的，但是事實可能并非如此，如果僅是二次方程的話，只要加一個規定“如果判別式是負數的話，二次方程沒有實數解”，這樣就可以結束討論了，并沒有為了要二次方程有解而創造復數的強烈動機．在歷史上，利用數學方法認真思考復數，就是在研究三次方程的解法時，因此三次方程求根公式中出現負數開方的情形是復數知識產生的一個固著點.

4.1.2知識生長的過程與階段

復數概念的形成經歷了如下幾個階段：一是使用卡當公式求解三次方程，發現實數解需要用到不存在的虛數來表示；二是近百年時間數學家并不承認復數，但在各式各樣的數學問題之間它越來越活躍；三是到了十九世紀，高斯提出了復平面的見解，闡述了復數加法與乘法的幾何意義，至此復數理論才比較完整和系統地建立起來了．需要注意的是，幾何意義是復數概念得以形成與發展的重要依據．

4.1.3知識建構的策略與方法

復數概念是根據現實世界的實際需求和數學內部之間的矛盾(復數在實數集內無法開方)而產生的.其建構所用到的主要策略與方法：一是類比思想，即類比有理數、實數等數系擴充過程，探索推理復數模型；二是數形結合思想，根據復數與向量一一對應的關系，以形助數、以數論形，構建完整的復數理論.

4.1.4知識間的聯系與結構分析

向量是復數的幾何表示，通過向量的運算定義，完善復數的概念和運算的幾何解釋；另一方面復數僅是二維向量，嚴格地講復數與復平面內以原點為起點的向量構成一一對應關系，但兩者并非完全等價.兩者在線性運算方面是等價的，但在乘法運算方面存在不同.

4.1.5知識間的要點與本質

復數的本質是二元數，對一元實數的推廣，是代數研究對象從一維空間到二維空間的推廣，因此實數是復數的另一個固著點.

4.1.6知識的學科意義與教學價值

復數已被廣泛應用于流體力學、信號分析等學科，因此復數有著深厚的物理背景. 復數是復變函數論、量子力學等學科中最基礎的對象和工具，具有十分重要的學科價值和教育價值．復數概念建立過程中所蘊含的類比思想，可以培養學生的數學抽象素養、推理素養．在復數的基礎上，英國數學家哈密頓構造了四元數模型，并導致了物理學中著名的麥克斯韋方程的產生[2].

4.2 學生認知分析

4.2.1學生認知基礎分析

學生已具有一些數的概念并能理解數集之間的包含關系,掌握了實數范圍內的一些運算法則和運算律，有了數系擴充的一些經驗．其次學生掌握了一元二次方程等的求解方法以及方程的解的概念，了解乘方運算與開方運算的互逆關系、數學邏輯用語以及推理與證明的相關知識．最后是學生已掌握向量的概念及運算的一些相關知識．

4.2.2學生認知障礙分析

在生活中缺少復數的現實物理背景，學生缺乏直觀感受，對其很陌生且較難理解；另一方面學生缺乏從整體上重新審視數系發展的過程，不知道數系為什么要擴充，以及它與生產生活及方程求解之間的關系,對數的生成和發展的歷史規律沒有深刻的認識，也缺少深入的思維習慣．

4.2.3學生認知風格分析

多數學生習慣于被動學習而不是主動的研究學習，習慣于獨立學習而不是合作學習，習慣于機械解題而不是研究問題．

4.2.4學生認知差異分析

由于學生認知基礎等方面的差異，因此應允許不同的學生以不同的方式學習，獲得不同的結果，即允許部分學生以接受、模仿的方式學習．

4.3 教學目標及素養解讀

基于前期的內容分析、學生的認知分析，確定教學目標及其素養解析如下：

(1)借助方程，對復數概念的引入背景與必要性有比較清楚的認識，從實數到復數，從具體到抽象，學會掌握研究擴充數系的思路，理解復數的概念，了解數系擴充的基本規則．學會用類比的思想解決問題的思路和領域，感悟解決數學問題的思想方法，提升學生的邏輯推理能力；

(2)通過對復數不同形式的研究，厘清解決問題的思路和思想，積累創建數學模型的經驗，提升學生建模的能力；

(3)通過課后對三元數和四元數相關材料的閱讀和研究，開闊學生的視野，培養學生提出問題、思考策略、解決問題的能力．

4.4 教學設計片段

4.4.1片段1呈現背景，提出問題

問題1已知三次方程x3+px+q=0的其中一個根的求根公式:

請根據該公式求解方程x3-3x=0的一個根．

設計說明：教材從二次方程出發有其合理性，新的教學設計找準復數概念產生的邏輯起點，通過設置情景沖突，可以有利激發學生學習復數的欲望，也比較自然地進入復數的學習之中．還原歷史幫助學生理解復數引入的必要性，進而了解實際需求和數學內部的矛盾在數系擴充中的作用．

4.4.2片段2聯想激活，尋求方法

問題2數系的擴充可能遵循哪些原則？聯想回憶我們曾學習了哪些數的集合與運算？數系每一次擴充后哪些方程從無解變有解？

分析：從自然數擴充到了整數，實現了方程x+1=0有解，從而實現了減法運算的封閉，從整數擴充到了有理數，實現了方程2x+1=0有解，從而實現了除法運算的封閉．通過類比自然數擴充到整數，整數擴充到有理數到實數的過程，獲得數系擴充可能遵循的原則，首先是為了解決方程中產生的問題；其次擴充的數系應該包含原來的數系，并希望原有的運算及運算律仍能成立．

設計說明：數系擴充原則的討論這一問題是尋求方法的關鍵，通過回顧從自然數集逐步擴充到實數系的過程，為實數系的擴充提供了類比對象，也為如何擴充數系指明了方向．

4.4.3片段3歸納抽象，建立概念

問題3規定虛數i后，通過實數與i進行四則運算可以產生哪些新的形式的數？這些新的數一般形式可能是什么？

分析：新數集可能有這樣一些形式的數，1+i、1-i、2i等，所以新數的一般形式可能為a+bi(a,b∈R)．把集合C={a+bi|a,b∈R}中的數，即形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位．全體復數組成的集合C叫做復數集．用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，這一表示形式叫做復數的代數形式．其中的a與b分別叫做復數的實部和虛部．

設計說明：根據上述討論的數系擴充原則，由實數和新引入的虛數單位進行四則運算，嘗試構建復數的一般形式并命名，學生經歷復數概念的產生過程，為課后三元數的證偽研究提供思路借鑒和研究方向．

4.4.4片段4運用新知，解決問題

問題4下列方程在復數范圍內是否有解，如果有解，請求出方程所有的解．

(1)x2+9=0； (2)x2+x+1=0 ；

(3)x3-1=0．

學生活動：利用配方、因式分解、求根公式等在復數范圍內求解這三個方程．

分析：由實數擴充到復數，失去了實數集R全區域的性質，復數集C只能是一個半區域了，即C中元素無大小可言，但是C是代數閉域，任何代數方程在C中必定有根．

設計說明：增加了在復數范圍內求解二次方程等問題，可以更好地理解復數模型建立的意義，感悟數系擴充后帶來的飛躍．學生通過經歷數學知識的假設、論證和完善過程，體會數系的擴充可以解決問題的同時，也可能會失去原數系的一些性質．

4.4.5片段5多元聯系，拓展深化

問題5實數的順序特征使得它和數軸上的點一一對應，復數由實部和虛部組成，能否在實數軸的基礎上為復數尋找一個幾何意義？

分析：復數的虛部為零時，復數就成為了一維的實數軸，所以當虛部不為零時，可以考慮類似于坐標系一樣引進一個虛軸，復數的實質是二元數，具體復數的幾何意義在下一課中詳細講解．

設計說明：復數概念的建立缺乏生活背景，通過復數的幾何意義猜測，人們可以嘗試感受到復數的存在，在起始課中為下一節幾何意義的引進埋下伏筆．歷史上復數的幾何意義是建立復數模型的關鍵，不僅為后續復數的運算和法則提供依據，也導致了三元數的提出和否定

4.4.6片段6回顧反思，拓展問題

問題6為什么要建立復數模型？能否描述一下復數模型的研究過程？

問題7如果說復數是二元數，那是否存在a+bi+cj這樣形式的數？你能否借鑒本節課復數的研究過程創建一個三元數的模型？請查閱資料，是基于什么原因人們最后認可了復數模型，而三元數a+bi+cj卻沒有？

設計說明：復數的本質是二元數，對一元實數的推廣，是代數研究對象從一維空間到二維空間的推廣，因此實數是復數的另一個固著點.二元數的本質一旦揭示，那三元數的提出就顯得很自然也很合理，更為重要的是數學研究需要考慮證實，也需要考慮證偽，通過證偽可以更好地佐證其合理性．回顧反思不僅是為了總結，更多的是展望下一步研究，拓展數學的問題．通過課后研究三元數的問題，可以發現定義三元數的乘法時，無法明確地定義ij的值，若假設ij=0，則i(ij)與(ii)j無法相等，這樣就可以清楚地了解復數運算建立的必要性．同時也為后續四元數的研究打開了道路．也正是為了解決三元數模型中的缺陷，英國數學家哈密頓構造了四元數模型，并導致了物理學中著名的麥克斯韋方程的產生．這樣的課后作業，比傳統的思考題更能拓展學生的視野，了解數學知識的研究過程，培養學生提出問題、解決問題的能力．

5 總結和啟示

史寧中先生提到“開展基于核心素養的教學，應當把一些具有邏輯聯系的知識點放在一起進行整體設計．無論把這個整體稱為‘單元’還是‘主題’，總之，要把這些內容融為一體進行教學設計．”[3]開展基于核心素養的單元起始課教學設計是落實單元思想的第一步，本文的教學設計為“高中數學研究型教學實踐與探索”的延伸研究，采用的設計思路稱為研究型單元教學設計，實現以生為中心、教學過程即研究過程的目的，在研究過程中感悟知識所蘊含的數學基本思想，該成果曾獲2018年國家級基礎教育教學成果二等獎．

有效的單元起始課的關鍵是教師需要掌握數學知識的來龍去脈，才能真正體會復數發展過程中數學家的想象力、創造力和不屈不撓的精神．本課例在浙江師范大學的尖鋒論壇上進行了教學實踐，從課堂的達成度和學生的訪談來看，都取得了不錯的效果，與會教授認為實踐中對教材的處理其實質是將數學史融入教學的整個環節，雖然未提及數學史的知識，確將復數知識的誕生、發展、演變在課中做了很好的揭示．通過對復數單元起始課的研究，也可以發現對于復數，學生缺乏生活中的直觀感受，較難理解復數的概念及運算定義的合理性，所以我們認為有效的單元起始課還需要基于對學生層次的了解，基于學生認知基礎等方面的差異，允許不同的學生以不同的方式學習，獲得不同的結果．