構(gòu)建函數(shù)探尋不等式求證思路——以數(shù)學(xué)問(wèn)題為例

黃如炎

(福建省閩清教師進(jìn)修學(xué)校 350800)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》對(duì)邏輯推理素養(yǎng)水平三要求學(xué)生“對(duì)于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題；對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠通過(guò)構(gòu)建過(guò)渡性命題，探索論證的途徑，解決問(wèn)題”[1]．《數(shù)學(xué)通報(bào)》傳統(tǒng)欄目“數(shù)學(xué)問(wèn)題解答”中的數(shù)學(xué)問(wèn)題新穎而有難度，解答機(jī)智靈活，精彩紛呈，其中有不少好問(wèn)題，是培養(yǎng)理性思維，發(fā)展高水平邏輯推理素養(yǎng)的難能素材．但許多數(shù)學(xué)問(wèn)題沒(méi)有給出思維過(guò)程，有些解答使人感到不夠自然，突如其來(lái)．問(wèn)題提的再好，如果問(wèn)題的解答沒(méi)有給人任何思維的啟迪和思想的感悟，就失去了好問(wèn)題的教育價(jià)值．解決難度較大的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往需要提出某個(gè)假設(shè)或引理，構(gòu)建函數(shù)是提出假設(shè)和引理的有效途徑之一．本文以數(shù)學(xué)問(wèn)題中的不等式為例，通過(guò)構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、圖像、單調(diào)性、最值、極值等合乎情理地探尋不等式證明思路，以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．

問(wèn)題1正數(shù)a、b、c滿足a+2b+3c≤abc，求5a+22b+c最小值(數(shù)學(xué)問(wèn)題2080[2])．

原解概要本問(wèn)題難度較大，引起了許多中數(shù)研究者的關(guān)注和探究．問(wèn)題由黃兆麟老師提供，由于他是在賦予a，b，c具體值的情況下設(shè)置本問(wèn)題，可根據(jù)已知a、b、c值和均值不等式取等號(hào)的條件，對(duì)式子進(jìn)行變形配湊后用均值不等式求出最值[3]．但在外人看來(lái)這種變形分拆神秘莫測(cè)，知其然不知其所以然．王淼生、楊先義、張青山等老師通過(guò)待定系數(shù)法、算術(shù)平均不等式、加權(quán)冪平均不等式等方法進(jìn)行探究，雖然揭開(kāi)了黃老師解題的神秘面紗，但都涉及到多元高次方程，求解過(guò)程十分艱難[4][5][6]．下面通過(guò)構(gòu)建函數(shù)既輕松解決問(wèn)題又開(kāi)啟新的思維方式．

方法提煉對(duì)某些多元不等式，可視其中兩個(gè)元為變量(其它元為常量)構(gòu)建函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、圖像與性質(zhì)解決問(wèn)題．

方法提煉對(duì)某些關(guān)于a，b，c式子的最值，可先構(gòu)建關(guān)于某個(gè)字母為自變量的函數(shù)f(a)(或f(b),f(c))，求出最值g(b,c)(或g(a,c),g(a,b))，再構(gòu)建另一字母為自變量函數(shù)g(b)(或g(c),g(a))，求出最值h(c)(或h(a),h(b))，再求出h(c)(或h(a),h(b))最值．

問(wèn)題2若a,b,c>0，aπ+bπ+cπ=3，則ae+be+ce≤3(數(shù)學(xué)問(wèn)題2293[7])．

原解要點(diǎn)直接引入函數(shù)f(x)=exπ-πxe，此函數(shù)是如何構(gòu)建的呢？

方法提煉對(duì)某些多元對(duì)稱不等式，可根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征，利用不等式等號(hào)成立時(shí)函數(shù)取得極值探尋不等式g(a)≥h(a)，即構(gòu)造函數(shù)f(x)=g(x)-h(x)解決問(wèn)題，此方法比利用切線尋找函數(shù)的一次估計(jì)式更具有一般性．

(數(shù)學(xué)問(wèn)題2329[8])

所以f(x)在(0，+∞)上遞增，從而

方法提煉對(duì)某些關(guān)于a，b，c對(duì)稱的不等式f(a,b,c)≥0(或f(a,b,c)≤0)，不妨設(shè)a≥b≥c，先構(gòu)建關(guān)于a的函數(shù)f(a,b,c)，證明f(a,b,c)具有單調(diào)性后得到f(a,b,c)≥f(b,b,c)(或f(a,b,c)≤f(b,b,c))，再構(gòu)建關(guān)于b的函數(shù)g(b,c)=f(b,b,c)，證明g(b,c)具有單調(diào)性后得g(b,c)≥g(c,c)=0(或g(b,c)≤g(c,c)=0)．

方法提煉對(duì)某些不可求和數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的不等式，可構(gòu)建函數(shù)f(n)使a1=f(1),an≥f(n)-f(n-1)(或an≤f(n)-f(n-1))，n≥2．

原解要點(diǎn)通過(guò)變形、配湊后用5元算術(shù)—幾何平均不等式證明．也可構(gòu)建函數(shù)證明如下．

所以g′(c)≤0，g(c)在(0,3)上遞減，故

構(gòu)建函數(shù)

由上可見(jiàn)，有些難度較大的不等式(最值)問(wèn)題，表面看似與函數(shù)無(wú)關(guān)但背后往往蘊(yùn)藏著某個(gè)函數(shù)，如能揭示所隱含的函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)與圖像可化難為易，其優(yōu)點(diǎn)無(wú)需證明不等式所用的較強(qiáng)技巧和超出中學(xué)范圍的不等式公式．此類不等式(最值)問(wèn)題不僅在《數(shù)學(xué)通報(bào)》的數(shù)學(xué)問(wèn)題中頻頻出現(xiàn)，在各類競(jìng)賽題和近年高考?jí)狠S題中也時(shí)有出現(xiàn)，學(xué)生對(duì)此不知所措，束手無(wú)策，應(yīng)引起教師教學(xué)上的重視．構(gòu)建函數(shù)探尋不等式(最值)求證(解)思路的關(guān)鍵在于根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征，或?qū)⒉坏仁阶冃无D(zhuǎn)化后構(gòu)建以某個(gè)量為自變量的函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、切線和圖像后解決問(wèn)題．構(gòu)建函數(shù)在三角、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、函數(shù)等問(wèn)題中有著同樣的運(yùn)用，限于篇幅不一一列舉．