空間曲面切平面引入的教法探討

摘 要：本文通過探究高等數學多元函數微分學的幾何應用教學中，通過重新定義空間曲面的切平面并求出切平面的方程，給出這方面知識點教學的一個新思路.

關鍵詞：偏導數 空間曲線 空間曲面 切線 切平面

1.一般的高等數學教材[1]，在講空間曲面的切平面的時候，在給出切平面的定義后，通過求曲面上任意一條曲線的偏導數和偏導數的幾何意義來得到切平面的法向量，進而得到切平面方程。 這樣處理的好處是簡單易得，但壞處是沒有直接給出切平面的法向量，給人的感覺法向量是順便得到的，不是主動求得的。教師在講這方面內容的時候可以換一種思路和方法來講述這一部分，可以如下設計教案。

2.空間曲面的方程為：，點為曲面上任一點。過點平行于坐標平面的曲線為：

過點平行于坐標平面的曲線為

兩曲線在點的切線垂直相交于點。

3.曲面在點處切平面可以定義為：曲線在點的切線構成的平面。

這里涉及兩個問題，一是證明過點的所有曲線的切線落在切平面上，二是求切平面的點法式方程。

4.教科書[1，2]處理方式是證明第一個問題，順便解決第二個問題，這里可以反過來講，即先求切平面的點法式方程。再證明第二個問題。

由偏導數的幾何意義可得在點的切線方程為切線方程為：

即。

其方向向量 。

在點的切線方程為切線方程為：

即 。

其方向向量 。

垂直于切平面的向量為：

可取法向量為，于是曲面在點的切平面的點法式方程為

下面證明曲面的過點的所有曲線的切線落在切平面上。

設曲線? 是曲面上過點的任一條曲線，其中 為點對應的參數值。故

曲線 在點的切線的方向向量為 。

因為在點處可導，

故。

所以垂直于切平面的法向量。 即曲面的過點的所有曲線的切線落在切平面上。

5.這樣設計教學的好處是切平面的定義相對簡單，證明用到的知識更豐富，比如用到向量的向量積。涉及的知識點也更多，比如除了空間曲線的切線相關知識外，還有更前面講的偏導數的幾何意義等。讓學生們可以更好地理解和鞏固前面所學內容。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學：下冊[M].6版.北京：高等教育出版社2007.

[2]李路，張學山.高等數學：下冊[M].1版.北京：清華大學出版社2013.

作者簡介

李宜陽（1979—），男，山東高密人，博士，副教授，從事李代數與表示理論