數形結合 架設算理與算法的橋梁

劉慶弟

數學家華羅庚教授說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休。《數學課程標準》要求：“數”與“形”相結合，相互滲透，把數的精確與圖形的直觀描述相結合，以形理解數。所謂數形結合是數學中抽象的數學概念、計算方法、數量關系與直觀的圖形結合起來，更好理解和把握數學的本質。那么，在數學教學中，如何做到數形結合呢？下面以人教版六年級上冊第三單元“一個數除以分數”教學為例，闡述教師如何借助直觀圖形讓學生理解分數除法的算理，從而歸納總結出分數除法的計算方法，讓數形結合的數學思想為算理與算法架設一座橋梁。

一、數形結合，直觀感知

教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗基礎，在新課學習前需要喚醒已經獲得的經驗為起點，設計符合學生認知水平的數學活動，為學習新知識作鋪墊，實現知識的遷移以及探索方法的遷移，達到溫故而知新的學習效果。在教學“一個數除以分數”課始時，教師讓學生折一折，涂一涂來復習驗證前面所學的一個數除以整數的算理和計算方法。新課導入滲透數形結合的思想，讓學生直觀感知知識。

片段一：

師：同學們，還記得我們學過的分數除以整數是怎樣除的嗎？請同學們口答下面兩道除法，并說說你的想法。

課件出示：

口算：

生： 等于把一張紙的 平均分成2份，取其中的1份，也就是求 的 。（學生邊操作演示邊說）

師：同意嗎？

生：同意，陰影部分就是占這張紙的 。

生：我是把一張長方形紙平均分成5份，取其中的3份，再把這3份對折，也就是平均分成2份，涂其中的一份，結果陰影部分占這個長方形的 ，所以我認為剛才某某同學是正確。

生： 就是把 分成3份，取其中的一份，也就是求 的 是多少。（學生邊操作演示邊說）

師：你們真棒！不但掌握了分數除以整數的方法，還會從乘、除法的意義去理解算法，更棒的是能通過分一分，折一折，涂一涂，等操作，借圖示來理解算法和驗證結果。

師：今天，我們還可以運用剛才的操作方法來研究新的知識。

利用上面兩道鋪墊練習為新舊知識的銜接，新舊經驗的對接做了充分的準備，為探索新知提供了探究的方法。

二、數形結合，明理知法

《標準（2011版）》指出：“通過操作和直觀圖示幫助學生理解分數乘除法的算理，掌握計算方法。”也就是要求課堂上加強直觀教學，結合實際操作和圖形語言，探索、理解計算方法。而且分數乘除法計算教學的重點是讓學生理解算理，掌握計算方法。如果只讓學生記住分數乘除法的計算法則并不困難，但我們不但要讓學生知其然，更要知其所以然。分數除法是小學數學教學與運算內容中的重點和難點，主要包括分數除以整數、整數除以分數和分數除以分數等類型，并經過循序漸進的教學后將算法統一為“除以一個數等于乘這個數的倒數”，因此，如何讓學生既理解算理，又掌握算法， 便成為本節課的難點。為了突破這一教學難點，在教學分數乘除的計算時，教師應注意滲透數形結合、歸納等數學思想方法，設計有效的數學探究活動，在“做”和“思考”的過程中逐步積累數學活動經驗。引導學生經歷算法的自主探索過程，并將探索的過程進行總結和反思，形成普通適用的計算法則。

運用數形結合幫助學生明白算理，從而掌握計算方法，這是一個厚積薄發的過程，應貫穿于整個數學教學。教學時，教師要用好這些直觀手段，給學生充分提供動手的機會和時間，讓更多的學生在操作觀察的過程中，憑借直觀，理解算理發現算法。要提高這些教學活動的有效性，還需要教師給予適當的點撥，引導學生將數與形結合，邊操作，邊觀察，邊思考，并通過討論交流，在理解的基礎上總結和掌握算法。在計算分數除法時，通常出現的錯誤是有些同學直接約分或把被除數倒了，變成乘被除數的倒數。學生也許會出現種種千奇百怪，令你意想不到的錯誤，原因就是學生不明白算理造成計算方法的混亂。所以我們要為學生提供充分開展數學活動的機會，讓學生通過操作，觀察，數形結合來理解算理，歸納計算法則。

三、數形結合，提煉概括

魯賓斯坦曾說過：“思維是在概括中完成的。”驗證計算結果是否正確是對運算過程方法和結果的反思及檢驗，也是積累運算經驗、提高運算能力的重要手段。驗算的方法有多種多樣。如重算一遍，用加法驗算減法，用乘法驗算除法等等。

例如，“一個數除以分數”為例，教師引導學生采用新穎的驗證方法：①把分數轉化為小數來驗算：4÷ =4÷0.5=8;②運用商不變的規律，把除數轉化為整數來除：4÷ =（4×2）÷（ =8;③運用數形結合法，讓學生看圖解說驗證。生說：4個餅共有12份，每2份一人，可以分6人，也就是4÷ =4×3÷ =4×3× =4 =6;

學生的多種驗證方法，是對計算過程的反思，這樣的反思既把新知轉化為舊知，又實現了舊知的遷移，使新知識與舊知識融為一體。數形結合使學生做到了勇于猜想，敢于驗證，大膽創新。同時培養了學生善于觀察、深入思考、多角度發現問題的良好學習習慣及嚴謹的學習態度。

數形結合在學生整個小學數學學習過程中都發揮了橋梁的作用。運用數與形的結合，讓學生經歷探究方法——明白算理——歸納算法——反思驗證的過程。引導學生積極參與整個教學過程，這樣才能激發學生學習數學的興趣，提高他們終身學習的能力。