數形結合在初中數學教學中的實效應用

劉貞

【摘要】數形結合是數學教學的基本思想，也是學生有效學習數學的方式.在小學學習階段，學生便掌握了數形結合的基本特點，而在初中教學中，教師要進一步加強數形結合的應用.文章從此出發，首先分析了數形結合在初中數學教學中的應用價值，包括降低學習難度、發展學習能力、培養數學思想，以及如何有效應用數形結合開展教學，如在概念講解中應用、在數學解題中應用、在難點突破中應用及在自主探究中應用等.

【關鍵詞】初中數學;數形結合;教學應用

數學好多的知識點都具有抽象性，所以數學課程都是初中教育的難點所在，不少學生在初中數學課程的學習中存在著畏難的情緒，不想學、不會學的現象比較普遍.這嚴重影響了數學課程的教學效果.當前初中數學教學中存在的問題，除了和數學課程自身的特點緊密相關外，也和教師未能采用有效的教學策略有著密切的聯系.對此，數形結合有著重要的教學應用價值.數學課程以數量關系和空間形式為教學內容，且數量關系與空間形式有著非常密切的關系，在特定條件下可以相互轉化.著名數學家華羅庚先生對數形結合有精辟的論述，只有數沒有形，會導致數學知識不夠直觀;同樣的，只有形，沒有數，則會使數學知識難以入微.借助數形結合，不僅可以讓抽象的代數內容直觀化，以圖形的形式呈現出來，也能讓宏觀的圖形具體化，用代數式子表達，對學生學習效果的鞏固以及學習能力的發展均有深遠的影響.

一、數形結合在初中數學教學中的價值

（一）激發學習興趣

學以趣為先，在初中生的數學課程學習中，興趣是最為重要的因素.濃厚的學習興趣，不僅是學生開啟學習大門的鑰匙，也是學習活動得以深入持續的保障.數學課程具有高度的抽象性，與學生的直觀思維有一定的差異，學生在數學課程學習中存在興趣不足的現象.借助數形結合就能很好的改善這一問題.數形結合從數量關系與空間形式相互聯系、相互轉化的角度出發，重視以形化數，以數化形，能夠提高數學知識的直觀性，契合學生的認知特點，從而調動學生的學習興趣.

（二）發展學習能力

隨著教學實踐的不斷深入以及教學改革的日益深化，初中數學的教學目標發生了很大的轉變，逐漸從知識的傳授、技能的培養轉變為學生學習能力的發展與提升.培養學生的自學能力是現階段初中數學課程教學的主要目標.對此，數形結合有著很好的應用價值.解題能力是學生自學能力的核心內容，而解題技巧則是解題能力的中心.對初中生的數學解題而言，數形結合是最為常見的技巧，要求學生突破既有思維的禁區，從普遍聯系的角度出發，進行創造性的轉化，培養自身的結題能力，從而發展學習能力.

（三）培養數學思想

數學思想作為對數學學科的本質認識，在學生的數學學習中有著非常重要的作用.掌握了數學思想，不僅可以提升學生的學習效率，對學生數學認知水平的提升同樣發揮重要的作用.數形結合在初中教學中的應用能夠培養學生的數學思想.首先，數形結合本身就是數學思想的重要組成部分，可以將數學問題化繁為簡.其次，數形結合與其他數學思想有著密切關系，比如轉化思想、函數方程思想等，對學生數學思想的整體發展有著重要價值.

二、數形結合在初中數學教學中的應用對策

（一）在概念講解中應用

數學概念是學生數學學習的基礎性內容.準確地掌握數學概念的含義，對學生后續學習活動的深入開展有著重要的價值與意義.同時，數學概念也是學生學習的難點所在，數學概念的抽象性給學生帶來了一定的理解難度.因此，在數形結合的教學應用中，教師需要以概念講解的應用為重點，借助數形結合來降低概念的理解難度，讓學生更好地掌握基本知識點，提高數學課程的教學效果.相比于小學階段的數學課程而言，初中數學課程的知識容量大為提升，數學概念的總數以及層次也顯著提升.就以有理數為例，其是學生初中代數學習的初始內容，學生在小學階段已經掌握了整數、小數、分數等知識點，這為學生的有理數學習鋪平了基礎.在實際的教學活動中，教師可以采用數軸，將抽象的數字轉變為直觀的結合圖形，將有理數的主要知識點，用數軸來一一呈現.比如，有理數的正負、大小可以用數軸的左右順序來表示.又如，絕對值是學生有理數學習中的重要概念，借助數軸，可以將絕對值用原點與數軸上的點之間的距離來表示.這樣有效克服了單純文字介紹或者公式展示的弊端，對于學生理解絕對值的概念有著很好的效果.同樣的還有相反數的概念.有理數與數軸的巧妙結合，能夠幫助學生突破概念學習中的難點，優化概念教學效果.

（二）在數學解題中應用

數學課程不同于語文、英語等課程，廣泛地數學練習是學生學好數學的先決條件.數學習題不僅是學生運用數學知識的主要載體，也是考查學生學習效果的重要工具.教師需要將數形結合作為學生解題能力訓練的重要手段，以數形結合及其應用來不斷提升學生的數學解題能力.數形結合可以分為三種基本模式，第一種是以形化數，第二種是以數化形，第三種是數形同一.不同的模式有著不同的適用范圍，教師要優化題目的設置.就以平方差公式為例，平方差公式是初中數學教學的主要知識點之一，也是學生數學解題的利器，巧用平方差公式，可以提升學生的解題效率.但很多學生在平方差公式的運用中，僅僅知其然，不知其所以然，或者說，會用但不懂.這為學生的數學學習埋下了隱患.對此，教師可以借助數形結合的方法，讓學生更好地理解平方差公式的含義.比如，某正方形邊長為a，從其左下角除截取一段邊長為b的正方形，讓學生計算陰影部分的面積.正方形面積的求解是小學階段的知識點，學生很快便可以計算出陰影部分的面積為a2-b2，陰影部分可以拆分拼湊為長為a+b，寬為a-b的長方形，根據長方形的面積計算公式，新的陰影部分的面積為（a+b）（a-b）.

（三）在難點突破中應用

數學課程的知識點具有很強的抽象性，無論在基本知識的教學中，抑或在解題訓練中，學生都會遭遇到不少的難點，這也是數學課程畏難情緒普遍存在，兩極分化現象嚴重的主要原因.對此，數形結合有著很好的應用價值.數形結合以代數與幾何之間的有機轉化為重點，不僅可以培養學生的創新思維，讓學生尋找最優解，對抽象問題的直觀化也有著很好的作用，是突破教學難點，提高教學效果的重要方法.就以12+122+123+124+…+12n為例，本題實際上是等比數列的連加問題.等比數列的連加是高中階段的知識點，除了部分接受過奧數訓練的學生外，大部分學生并不知曉等比數列的知識，更不會使用等比數列連加的公式.因此，在解題中多以窮舉法、歸納法為主，不斷設置n的數值，觀察結果.比如當n=2時，答案為34，當n等于3時，答案為78，當n=4時，答案為1516，由此總結答案為1-12n.此種解題方法只能求出答案，卻不利于學生理解答案，難以幫助學生解決心中的困惑.對此，數形結合能夠發揮意想不到的作用.假設一個正方形的邊長為1，那么12就是正方形一半的面積，14就是正方形一半的一半的面積，如此類推，隨著n的數值不斷增加，12+122+123+124+…+12n的答案會越來越趨近于1，而圖形同樣直觀地表明了12+122+123+124+…+12n的答案為1-12n.

（四）在自主探究中應用

自主探究是學生數學學習的重要手段.借助自主探究，可以很好培養學生的探究意識，發展學生的自學能力.因此，在數形結合的教學應用中，教師要善于以數形結合為出發點，為學生布置與數形結合相關的自主探究題目，以此來提高學生數形結合思想的運用能力.在題目布置中，教師要遵循由淺入深的基本原則，先借助相對簡單的題目讓學生掌握數形結合的應用范圍以及應用方法，然后再提高數形結合的應用難度，逐步提升學生的應用水平.舉例而言，龜兔賽跑是學生耳熟能詳的故事，兔子的跑步速度雖然快于烏龜，但由于自大，在中途睡了一覺，等睡醒后，烏龜已經接近終點，最終兔子輸了比賽.筆者在教學中，要學生結合給出的數據條件，畫出龜兔賽跑的函數圖.從函數的角度出發，兔子的跑步是分段函數.因此，函數圖像分為三段，而烏龜的函數則是簡單的一次函數，函數圖像為一段.學生在函數圖的繪制中要注意三點內容，第一、兔子的速度較快，在龜兔同時賽跑的時間段內，兔子的斜率更大;第二、兔子中間休息了一段時間，函數圖像中有一段直線;第三、兔子在龜兔賽跑中的總耗時高于烏龜.函數及其圖像是數形結合應用最為廣泛的領域，教師在探究題目的設置中，要引導學生利用圖像和已知條件求解析式，或者利用解析式畫出函數圖像，求解問題.舉例而言，已知某二次函數y=2x2+bx+c，函數圖像經過點（2，3），且二次函數y=2x2+bx+c的定點位于直線y=3x+2上，求出該二次函數的解析式.本題二次函數的解析式中未知數為b，c，學生首先要畫出簡單的示意圖，使題目明朗化，然后借助已知條件將頂點表示為-14b，8c-b28帶入一次方程中求解.

三、結?語

數與形的關系是初中數學課程中最為重要的一對矛盾關系，掌握數與形之間的辯證關系，是學生學好數學的一把鑰匙.因此，在初中數學教學中，教師要重視數形結合在課堂教學中的應用，從概念講解、習題訓練等多個角度出發，采取好有效的教學措施.

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