基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念的概念教學(xué)研究

吳晗 孫洪波

【摘要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一種具有數(shù)學(xué)特征、使人具備良好的數(shù)學(xué)品格、適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的能力，對人綜合素質(zhì)提升至關(guān)重要.而數(shù)學(xué)概念課是所有數(shù)學(xué)教師必須直面的教學(xué)難題，本文在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念下，以“平方根”為例，闡述了如何進(jìn)行概念教學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);概念教學(xué);平方根

素養(yǎng)是指一個(gè)人的綜合素質(zhì)，是人在思想、理論、知識、藝術(shù)等方面所達(dá)到的一定水平[1].數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)人經(jīng)過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，除去所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識外所留下的一種思維習(xí)慣與綜合能力.具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，并善于把數(shù)學(xué)中的概念、結(jié)論和處理方法推廣應(yīng)用于認(rèn)識一切客觀事物上，在認(rèn)識世界和改造世界的活動(dòng)中，會(huì)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值所在[2].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出了十個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識[3].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基于但又高于數(shù)學(xué)基本知識與技能，對于理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，以及開展數(shù)學(xué)評價(jià)等有著重要的意義與價(jià)值，是數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的基本素養(yǎng).

概念課是數(shù)學(xué)新授課當(dāng)中教學(xué)難度最大的課型.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，是判斷和推理的起點(diǎn)，也是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、法則等的邏輯基礎(chǔ)[4].數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的重要途徑.

因此，如何在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)理念下進(jìn)行數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，是所有數(shù)學(xué)教師必須直面的教學(xué)難題，也是值得大家認(rèn)真思索研究的重要課題.下面，筆者以八年級華師版數(shù)學(xué)教材第11章第一課時(shí)“平方根”為例進(jìn)行闡述.

教學(xué)過程：

1.引課：

問題一：邊長為3 cm的正方形面積是多少？

問題二：面積為9 cm2的正方形邊長是多少？

由3到9是乘方運(yùn)算中的平方運(yùn)算，而由9到3是一種什么運(yùn)算呢？這種運(yùn)算又有什么性質(zhì)呢？

【設(shè)計(jì)意圖】

（1）本節(jié)內(nèi)容以實(shí)際問題開頭，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識來源于生活，并應(yīng)用于生活.數(shù)學(xué)概念是抽象的，為了使學(xué)生更容易理解和接受，教學(xué)時(shí)要注意概念引入的途徑和方式.教師根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、認(rèn)知水平出發(fā)，可由日常生活或生產(chǎn)實(shí)際的材料引入，先感知，再理解.先抓住概念的本質(zhì)特征，再引用實(shí)例，揭示對概念的本質(zhì)屬性的理解.

（2）兩個(gè)問題很簡單，但能讓學(xué)生意識到一種互逆關(guān)系，為后面平方與開平方互為逆運(yùn)算埋下伏筆.

（3）接下來的兩個(gè)追問激發(fā)學(xué)生求知欲望，提高本堂課的學(xué)習(xí)興趣.

2.概括平方根定義：

之前兩個(gè)問題都利用了算式32=9，上標(biāo)表明了一種運(yùn)算，在這個(gè)運(yùn)算下，3與9有著一定關(guān)系.9是3的平方，英文叫做“square”，那3是9的什么呢？英文叫做“square root”.square是“平方”的意思，而root有“根源、起因”的意思，我們把它叫做“平方根”.

再比如，52=25，5是25的平方根;

（-4）2=16，-4是16的平方根;

接下來請學(xué)生仿照老師再舉幾個(gè)例子，然后讓學(xué)生試著說一說平方根的定義.

【設(shè)計(jì)意圖】

（1）在算式32=9中了解3與9的名稱，可以揭示二者的對應(yīng)關(guān)系.

（2）英文“square root”能更好地詮釋“平方根”名字的由來，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解.

（3）老師舉的例子中平方根有正有負(fù)，讓學(xué)生明白平方根不一定總是正數(shù).

（4）學(xué)生仿照老師大量舉例，可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感與運(yùn)算能力，幫助學(xué)生揭示概念的抽象過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，生成數(shù)學(xué)知識.

3.鞏固平方根定義：

例1?判斷：

（1）2是4的平方根;

（2）-2是-4的平方根;

（3）9是3的平方根;

（4）0是0的平方根.

請同學(xué)們模仿這個(gè)句式舉出正確的例子，最后總結(jié)：m是m2的平方根.

【設(shè)計(jì)意圖】

（1）4個(gè)判斷題和學(xué)生舉例，引導(dǎo)學(xué)生對概念進(jìn)行深入的剖析，緊扣概念本質(zhì)，加深、鞏固學(xué)生對平方根概念的理解與認(rèn)知，掌握概念的內(nèi)涵，突出教學(xué)重點(diǎn).

（2）這個(gè)環(huán)節(jié)的舉例，與上一環(huán)節(jié)類似，培養(yǎng)數(shù)感與運(yùn)算能力.最后總結(jié)m是m2的平方根，使學(xué)生明白任何數(shù)都可以是某一個(gè)數(shù)的平方根.

4.平方根性質(zhì)探索：

將之前的判斷調(diào)過來說，對嗎？

（1）4的平方根是2;（4的平方根除了2之外還有沒有其他？有，-2.除了±2，還有沒有了？是不存在，還是知識受限，暫時(shí)找不到了？）

（2）-4的平方根是-2;

（3）3的平方根是9;

（4）0的平方根是0.

判斷并修改后，請學(xué)生模仿這個(gè)句式舉出正確的例子，最后學(xué)生總結(jié)哪些數(shù)有平方根，以及它們的平方根有什么特點(diǎn).老師梳理、總結(jié).

【設(shè)計(jì)意圖】

（1）4道小題，使學(xué)生感受到正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的平方根的特點(diǎn)，認(rèn)識到平方根的多樣性.

（2）學(xué)生舉例，體會(huì)平方根性質(zhì)和求平方根的過程，為順利總結(jié)出平方根性質(zhì)做好準(zhǔn)備.

（3）平方根性質(zhì)的探索，其實(shí)是對平方根概念外延的一個(gè)探索過程，這能幫助學(xué)生更好的理解平方根的定義.

5.鞏固平方根性質(zhì)：

例2?下列各數(shù)是否有平方根？如果有，請求出它的平方根.

（1）100;（2）-916;（3）0.25;（4）214;（5）0.

【設(shè)計(jì)意圖】

（1）不斷應(yīng)用、鞏固平方根性質(zhì)，多問“為什么”，使學(xué)生答題有據(jù)可依，夯實(shí)本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容.

（2）本例題求平方根使開平方定義的出現(xiàn)水到渠成.

6.開平方、算術(shù)平方根概念及平方根的符號表示：

例2中，我們在求非負(fù)數(shù)的平方根，像這樣的運(yùn)算叫做開平方.我們能夠體會(huì)到平方與開平方互為逆運(yùn)算，我們可以借助平方來進(jìn)行開平方.

對于一個(gè)正數(shù)a來講，開平方的關(guān)鍵是找到它的正的平方根，我們把它叫做算術(shù)平方根，記作a.那么a的負(fù)的平方根怎么表示呢？

規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0，記作0=0.那么-0有意義嗎？

有了這樣的理解，非負(fù)數(shù)a的平方根就是a和-a，合在一起記作±a，其中a稱為被開方數(shù).這個(gè)根號經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的演變過程，直到三百多年前，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾用這個(gè)根號表示平方根，后來一直沿用至今.

【設(shè)計(jì)意圖】

（1）開平方和算術(shù)平方根兩個(gè)概念都依托平方根定義得來，所以這里直接給出.

（2）算術(shù)平方根定義是針對正數(shù)說的，對于0有一個(gè)單獨(dú)的規(guī)定，二者在符號給出后都追問了相反數(shù)的表達(dá)形式，目的是對最初平方根定義中的a給出平方根的符號表示.

（3）a的平方根記為±a后，選擇例如“4的平方根是±2”的語句進(jìn)行符號語言的改寫，即±4=±2，使學(xué)生體驗(yàn)符號語言的簡便.

7.根號的文字語言與符號語言的轉(zhuǎn)化：

例3?說出下列式子的含義，并求值.

±9，4，-49，0，±0.

【設(shè)計(jì)意圖】

概念符號化是概念教學(xué)的必要步驟，這使數(shù)學(xué)的表示形式更簡明、清晰、準(zhǔn)確，本例題讓學(xué)生掌握概念符號的意義，并要進(jìn)行數(shù)學(xué)符號和其意義的轉(zhuǎn)換，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號意義的理解.

8.綜合練習(xí)：

（1）16的平方根是;

（2）16的算術(shù)平方根是;

（3）16的平方根是;

（4）16的算術(shù)平方根是;

（5）的平方根是它本身;

（6）的算術(shù)平方根是它本身.

【設(shè)計(jì)意圖】

這組練習(xí)將本堂課的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行了復(fù)習(xí)、鞏固、檢驗(yàn)，其中包含平方根與算術(shù)平方根的定義、平方根的性質(zhì)和根號的意義.（1）與（2）、（3）與（4）是兩組平行練習(xí)，用以區(qū)分平方根與算術(shù)平方根的概念，但后者考察點(diǎn)多了一個(gè)16的取值，思維需多轉(zhuǎn)化一步，對于學(xué)生來講就是一個(gè)陷阱，要提醒學(xué)生注意.

9.小結(jié)：

（1）這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一種新的運(yùn)算，叫開平方，運(yùn)算符號是根號.開平方與平方互為逆運(yùn)算.曾經(jīng)，我們還學(xué)過加法與減法互為逆運(yùn)算，乘法與除法互為逆運(yùn)算.我們可以借助逆運(yùn)算求解或者檢驗(yàn).

（2）開平方與其他運(yùn)算不同的是它的運(yùn)算結(jié)果通常是兩個(gè)，這是因?yàn)檎龜?shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，不要遺漏，而算術(shù)平方根具有唯一性.

（3）本節(jié)新引入了一個(gè)符號——根號，要明確符號語言的含義，理解符號之間的對應(yīng)關(guān)系.

（4）以前我們學(xué)過具有非負(fù)性的有絕對值和一個(gè)數(shù)的偶數(shù)次冪，今天我們又學(xué)習(xí)到兩個(gè)具有非負(fù)性的內(nèi)容，一個(gè)是開平方時(shí)被開方數(shù)a具有非負(fù)性，一個(gè)是a的算術(shù)平方根a具有非負(fù)性.

10.教后反思：

“平方根”這節(jié)課是一節(jié)典型的概念課，內(nèi)容難度大，容量大，學(xué)生接受起來困難.本節(jié)課的重要概念是“平方根”，教學(xué)設(shè)計(jì)上側(cè)重概念的生成過程和對概念的理解.概念的生成過程從正方形面積這個(gè)熟悉的情境入手，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活，大量舉例，讓學(xué)生直觀感知概念，以此為基礎(chǔ)再做概括.對于概念的理解不僅包括能利用概念判定什么是平方根，還要能剖析概念，認(rèn)識它的性質(zhì)，這樣才能更清楚地掌握概念，所以本堂課在例1和探尋平方根性質(zhì)時(shí)做了大量工作.概念符號化通常是概念教學(xué)的必要步驟，本節(jié)課注重文字語言與符號語言的轉(zhuǎn)換，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號意義的理解.這節(jié)課的研究手法可供“立方根”參考、模仿.

本堂課考慮在此之前學(xué)生對數(shù)的認(rèn)知只是有理數(shù)，所以被開方數(shù)都是開方后為有理數(shù)的數(shù)，但是在文字?jǐn)⑹錾喜⑽磸?qiáng)調(diào)必須是這樣的數(shù)，后續(xù)學(xué)生會(huì)明白任何非負(fù)數(shù)都有平方根.如果本堂課學(xué)生提出“5有平方根嗎”這類問題，我們可以在交代完根號后給出肯定回答，而這樣的數(shù)是什么數(shù)，可以先留懸念，待學(xué)完實(shí)數(shù)后就可以解答了.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)教師要以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為指導(dǎo)方針開展數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，重視概念的生成，辨析概念的本質(zhì)，深入挖掘概念的內(nèi)涵與外延，最后將新概念遷入原有知識體系，完善數(shù)學(xué)知識網(wǎng)，幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

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