數學寫作，培養學生綜合能力的“助推器”

☉江蘇省灌云縣楊集高級中學 高 原

說到數學寫作，很多人往往認為是教師的事，與學生無關.其實，學習與研究從來都是密不可分的，讓學生在學習數學的同時來研究數學，引導學生進行數學寫作，遠遠比讓他們多做幾道練習題有意義得多.因為數學寫作能綜合培養學生的多種能力，如寫作能力、知識的整合能力、數學探究能力等.那么，教師引導學生寫什么？通過數學寫作又如何提高學生的綜合能力呢？筆者結合高中數學教學實踐，談幾點不成熟的看法，以期拋磚引玉.

一、通過數學寫作，加深對已學知識的理解和認識

我們知道，當學完一個單元的知識后，教師往往要引導學生對本單元的知識加以回顧與總結——總結知識，提煉方法.而當這個任務交給學生來完成時，就演變成了“數學寫作”，學生通過自己的第二次學習，以小論文的形式呈現出來，能不斷提升他們對本單元知識的認識，更能體現他們對本單元知識的掌握情況，教師能從小論文中看出學生是否掌握了本單元的重點與難點.與此同時，通過對小論文的修改，又能培養學生“做數學”的嚴謹態度.

如何寫好這類小論文，教師應加以引導.學生單元總結性的小論文的寫作，同樣要體現教學基本原則，即以教師為主導，學生為主體.教師可以依據教學大綱的要求，列出寫作提綱，提出問題，至于小論文的寫作形式，完全由學生決定.

例如，對于《集合》這一章，教師可以讓學生從集合的概念、集合的性質和集合的運算三個方面加以總結，可以談對集合概念的理解，可以談對集合的三個性質即元素的互異性、無序性和確定性的理解，也可以談對集合并交補三種運算的理解.引導學生從書本知識即理論出發，配以恰當的例題來回歸解題實踐.小論文篇幅長短不限，只要把道理說清楚就行.

小論文完成后，教師可以發動學生對小論文進行評價，評出最佳論文并請作者當眾宣讀，這不僅能讓全班學生資源共享，共同提高，而且還增強了數學寫作的趣味性，從而促使學生積極向上，寫出更好更優秀的小論文，在寫作的潛移默化中，學生的各種能力也得到了鍛煉.

二、通過數學寫作，培養學生數學思維的批判性

學習是一項艱苦的腦力勞動，尤其是數學學習，自始至終學生的思維必須全程參與，即便如此，學生也會在學習中犯這樣或那樣的錯誤，這其實并不是壞事，教師可以將其變廢為寶，引導學生把對錯解的反思寫成數學小論文.這樣的數學寫作，不僅能培養學生數學思維的批判性，同時還能讓他們感知數學學習其實也是一個“在曲折中前進”的過程，從而將人生哲理滲透在數學寫作中.

錯解反思類的數學寫作，一般分三步進行：首先，教師根據學生作業的反饋曬出種種錯解；其次，由學生選擇與自己有關的錯解并加以訂正；最后，學生從中自由選擇兩三個錯解并以數學小論文的形式加以剖析反思，以防重蹈覆轍.

例如，在學習《常用邏輯用語》的時候，學生往往將否命題與非命題混淆，在命題改寫時往往忽視量詞的變化，為此班上有位學生寫出了《我的邏輯用語的糾錯手記》，本文從中摘錄一段，與大家分享.

“p或q的否定”是什么？

例1已知命題p：“?x∈［1，2］，x2-a≥0”，命題q：“?x0∈R，x02+2ax0+2-a=0”，若命題“p或q”是假命題，問：實數a是否存在？若存在，求出它的取值范圍；若不存在，請說明理由.

錯解：因為命題“p或q”是假命題，所以“p或q”的否定是真命題，即“?p或?q”是真命題，即p或q為假命題.

若p為真命題，則a≤x2恒成立，因為x∈［1，2］，所以a≤1.

若q為真命題，即x2+2ax+2-a=0有實根，則Δ=4a2-4（2-a）≥0，即a≥1或a≤-2.

因為“p或q”為假命題，故有a＞1或-2＜a＜1，所以實數a的取值范圍為a＞1或-2＜a＜1.

剖析：“p或q”的否定不是“?p或?q”，而是“?p且?q”.

正解：若p為真命題，a≤x2恒成立，因為x∈［1，2］，所以a≤1.

若q為真命題，即x2+2ax+2-a=0有實根，則Δ=4a2-4（2-a）≥0，即a≥1或a≤-2.

由題意知，“?p且?q”是真命題，故有a＞1且-2＜a＜1，所以實數a不存在.

我的感悟：“或”與日常生活中的用語“或”的意義不同.對于邏輯用語中“或”的理解我們可以借助于集合中的并集的概念：在A∪B={x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”與“x∈B”中至少有一個成立，可以是“x∈A且x?B”，也可以是“x?A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，邏輯用語中的“或”與并集中的“或”的含義是一樣的.故“p或q”的否定是“?p且?q”.

三、通過數學寫作，培養學生數學思維的求異性

數學教學的根本目的，是數學思維能力的培養，尤其是創造性思維的培養.在日常教學中，我們一貫倡導一題多解，一題多變，其實目的就一個，培養學生數學思維的求異性，讓學生舉一反三，融會貫通.教師可以將課堂上的探究延伸到課外，這其實也是學生數學寫作的一個極好的題材.

由于一題多解類或一題多變類的探究對思維能力的要求較高，僅靠一人的智慧可能無法完成，而群眾的力量是無窮的，教師可以讓學生自由組合成探究小組，集思廣益，共同研究，并一起將其寫成小論文的形式.對于優秀的小論文，教師可以推薦給相關的數學學習報進行發表，此舉更能調動學生的積極性.學生間相互合作，互相啟發，數學思維能力也在不知不覺中得到鍛煉與提升.

例如，在學習了《不等式》后，兩位學生合作，寫下了《一題五證 凸顯解題“正能量”》小論文，下面摘錄部分內容與大家共享.

常言道，得道多助，失道寡助.數學解題，“道”在何方？一題五解，為你開道，凸顯解題正能量.

例2若a>0，b>0，a3+b3=2，求證：a+b≤2，ab≤1.

證法一：（綜合法）因為a>0，b>0，a3+b3=2，

所以（a+b）3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3［ab（a+b）-2］=3［ab（a+b）-（a3+b3）］=-3（a+b）（a-b）2≤0，即（a+b）3≤23.

點評：綜合法（執因索果），是論證題常用的方法.當容易找出條件與結論的聯系時，這種方法是首選.

證法二：（換元法、判別式法）設a，b為方程x2-mx+n=0的兩根，則

因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2-4n≥0. （1）

因為2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）［（a+b）2-3ab］=m（m2-3n），所以n

所以-m3+8≥0，即m≤2.所以a+b≤2.

由2≥m，得4≥m2.因為m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1.所以ab≤1.

點評：換元法主要有三角代換、均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性.如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證.

……

注：小論文還有證法三（放縮法）、證法四（比較法）和證法五（反證法），限于本文篇幅，已略去.

四、通過數學寫作，培養學生對數學的研究能力

學習即研究，應該在平時的教學中培養學生的研究能力.引導學生做學問，理應成為素質教育和培養學生數學核心素養的一項極其重要的工作.我們一直在講學習的目的是教會學生學習，教會學生如何研究問題.數學課教給學生的不僅僅是數學知識，還有數學思想與方法，通過數學思想與方法的不斷滲透，加強學生對客觀世界科學的認識.從某種角度看，數學知識并不是十分重要的，時間長了總會遺忘，而數學方法和研究數學的精神卻往往能使人終身受益，這也是數學寫作的好素材.

這類數學寫作，一般以對數學方法或數學知識應用的研究為主，通過寫作，可以快速培養學生的數學研究能力.在實際操作中，教師可以先提供一類問題或一個性質，讓學生通過研究來總結其解法或應用，最終再以數學小論文的形式呈現出來.既然是研究，當然需要必要的文獻資料作為支撐，所以應允許學生查閱課外資料，請教有關教師，這樣可以大大拓展他們的知識面，這也是這類數學寫作的意義所在.例如，在學習了函數的性質之后，可以讓學生研究函數的性質在解題中的應用，小論文的題目可以是《函數單調性的幾個應用》《函數單調性與奇偶性的綜合應用》《如何判斷函數的奇偶性》《函數的值域求法研究》等，限于篇幅，學生的寫作這里便不再分享.

從目前來看，數學寫作是方興未艾的新事物，正在被廣大數學教學工作者所接受，基于數學核心素養的數學教學，應該倡導學生的全面發展和綜合素質的提高，而數學寫作正與此相吻合.如何擺脫應試教學的束縛，數學寫作或許是一條極好的途徑.