借助變式訓練 培養解題能力

☉江蘇省贛榆高級中學 李大才

在高考數學試卷中，變式題占了很大的比重，變式題源自于基礎題，是對基礎題的拓展及演變.因此對于高中生而言，必須深入透徹地理解數學知識，才能夠正確地解決此類問題.針對基礎題，高中生只需要掌握題型中所涉及的知識點以及考查點就能夠輕松解決，但是對于變式題的解讀，會存在一定的難度.教師應充分利用變式訓練的方式，這樣不僅可以使同學們聚焦其中所涉及的知識點，而且還可以拓展他們的視野，從而使他們把握正確的解題思路.以基礎題型為對象而做出的演變或者延伸，既有助于提升學生的數學思維能力，同時也有助于促進學生的邏輯思維能力的發展，進而提升學生解決數學問題的能力.

一、借助“一題多變”訓練，推進解題思維深度

在高中數學的解題教學中，教師要善于借助“一題多變”的訓練來推進學生解題時的思維深度，這樣，自然就能夠有效地促進他們解題能力的提升.

1.改變原題表述方式

針對變式訓練，其方法相對多元，首先需要保留原題的深層含義，其次就是對題型的表達方式進行相應的改變，這就是在實際解題的過程中運用相對普遍的變式訓練的方法.

例如，有這樣一道題：“已知定點A（-8，0），C（3，0），如果動點M（x，y）與點A、C組成的∠AMC恒為直角，求點M的軌跡方程.”對于這一道題，可以進行如下變式：

變式1：點A（-8，0）是直線H1上的一個點，點C（3，0）是直線H2上的一個點，直線H1與H2互相垂直，且其交點為點M，求點M的軌跡方程.

變式2：已知點A（-8，0），C（3，0），點M與A、C所形成的直線相互垂直，求點M的軌跡方程.

以上兩道變式題和原題之間在表達已知條件方面是完全相同的，只是在表達的呈現方式方面存在一定的不同.對于高中生來說，在實際的解題過程中，只要能夠準確地把握原題的深層含義，了解其中所涉及的知識點，就能夠了解如何解題.這種變式訓練方式有助于提升學生的思維變通能力，同時還有助于強化知識點之間

變式1：已知點F1，F2是橢圓的兩個焦點，點=1 M是這個橢圓上的一個動點.如果∠F1MF2是鈍角，那么點M的橫坐標的取值范圍是多少？

變式2：已知點M是橢圓上的一個點，點 、F1的銜接.

2.改變原題的問題

對原題的問題進行改變也是“一題多變”的有效方式之一，通過這樣的解題訓練對于培養學生的思維靈活性具有重要作用.F2是這個橢圓的左、右兩個焦點，如果以M、F1、F2為頂點構成一個直角三角形，那么點M到x軸的距離是多少？

在變式1中，不管最終為銳角或者鈍角，都應當以直角作為具體的參照目標，此題的解法也并非單一，最簡便的解法就是幾何解法，也就是以坐標原點O為圓心，以焦距F1F2的長為直徑畫圓，且與橢圓相交于四點，這也就意味著點M位于這四個交點時，∠F1MF2為直角；當點M分別位于x軸的上方或者下方且位于圓與橢圓的兩交點之間時，∠F1MF2為鈍角；對于銳角的情況也會比較清晰，也比較容易求出點M的橫坐標的取值范圍.

對于變式2，就是對原題中的直角這一條件做了改變，雖然給出了直角三角形F1MF2，但是未曾明確標出究竟哪個角為直角，所以這一題具有一定的靈活性.假如∠F1MF2=90°，只需要以焦距F1F2這一長度為直徑畫圓，明確圓與橢圓交點的縱坐標，因為焦半距很顯然小于短，這也就意味著圓與橢圓之間并不存在交點；假如∠MF1F2=90°或∠MF2F1=90°時，就能夠輕松地求出點M到x軸的距離.

3.改變原題的題設和問題

在原題的基礎上，對題設和問題同時進行改變，能夠有效地變式出具有層次性的題組，這對于培養高中生的解題能力具有重要的作用.

基于原有題型而設計的變式訓練，不僅有助于轉換學生的視角，而且有助于促進學生思維嚴謹性的提升，同時能夠更有效地發掘學生的學習潛能，養成良好的學習習慣，還能夠著重突出新課改中所提倡的創新思維教育這一教學理念.

二、借助“一題多解”訓練，培養解題思維活度

在高中數學的解題教學中，組織學生開展一題多解訓練能夠有效地培養他們解題時的思維活度.

1.“一題多解”式變式訓練

數學知識之間往往存在著緊密的關聯，即使在同一道習題中，也會存在不同的解題方法.如：“已知一個等邊三角形ABC，如果過邊BC的中點M作一條直線，使其與頂點A相交，如何證明∠BAC的角分線為AM.”在組織學生對這一習題進行變式訓練時，可以讓他們轉化思維、轉換視角，選擇不同的方法來解決此題.

這種一題多解的訓練方式在促進學生的思維活度及嚴謹性方面具有極為顯著的作用，除此之外，還有助于樹立學生的學習自信，發展學生的創新能力.

2.“一題多解”式解題對比

對于一題多變的變式訓練而言，能夠完全消除題海戰術對學生所造成的負面影響，其所關注的重點在于知識點之間的互通性，教師可以立足于同一個知識點，向不同的方向發展和拓展，進而演變為多種類型的題目.

例如，已知一個直角三角形ABC，在斜邊AB上取一點M，求AM＞AC的概率.變式訓練可以將題目中的已知條件改為在直角三角形ABC中，選擇過直角頂點C作一條射線，同時與斜邊AB相交于點M，求AM＞AC的概率.這兩道習題從表面上看極為相似，也是來自于相同的題目，但所涉及的考點卻存在差異，這樣的訓練方式可以幫助學生理清數學概念，把握概念之間的異同，同時也能夠培養學生良好的觀察習慣，有助于提升學生的練習能力.

三、借助“多題歸一”訓練，培養解題思維精度

在高中階段，雖然在考試中所涉及的題量較大，但是針對數學知識的考查大都集中于對理論知識的實踐與應用方面，是基于解題模型做出的相應改變.因此，在具體的教學實踐中，要采取多題歸一的方式培養學生在解題過程中的思維精確度.

例如，求x+2x2+3x3+4x4+…+nxn的值（x≠0）.在實際解答過程中的首要任務就是需要假設 {an}為一個等差數列，{bn}是各項都為正數的等比數列，與此同時a1和b1都為1，a3與b5的和為21，a5與b3的和為13，求：①{an}和{bn}的通項公式；②數列前n項和P.只需要經過簡單分

n析便可發現，對于此題的解答而言，關鍵在于錯位相減法，假如數列{Rn}能夠滿足條件，同時{an}是等差數列，{bn}是等比數列，則此時對于數列{Rn}而言，前n項和都需要依靠錯位相減法來求得.

步入高中階段之后，數學題型的形式變化會日益突顯，但是這并不意味著其本質也會發生改變.在實際教學過程中，教師應引導學生準確地把握問題的本質，避免其他信息的干擾.在解題訓練中，學生要自主準備一個錯題集，著重對錯題進行專門的分類記錄，對相似的題目類型進行總結.通過耐心探索，學生必然能夠發現，雖然題目在問法上存在不同，但是其中卻存在著非常緊密的關聯.除此之外，還應當經常復習錯題，及時對新舊知識展開對比，將知識點進行串聯，自主地形成完善的知識體系.對于多題歸一的變式訓練而言，只要能夠緊抓問題源頭和問題本質，學生就能夠輕松應對.

總之，對于高中數學而言，實際上所開展的是系統知識的學習，很多數學問題都是同根同源的，所以在設計變式訓練的過程中，教師應當收集更多的變式訓練的題源，同時在課堂教學的過程中適當地滲透變式習題，這樣才能夠有計劃地引導學生關注變式習題，緊抓變式習題不變的本質，做到舉一反三，融會貫通，并能夠充分體會到數學學習的樂趣.高中數學知識的學習難度普遍較高，再加上高考的壓力，如果數學成績不理想，必然會嚴重打擊學生的自信心，因此，教師應選擇恰當的時機實施變式教學，既是為了促進學生思維能力的提升，也是為了使學生更高效地把握解題技巧，提高數學成績.