高考導數(shù)壓軸題的幾種解法*

☉四川省內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 胡富雅

☉四川省內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 趙思林

近年來，以函數(shù)和導數(shù)命制的壓軸題占據(jù)著高考數(shù)學的制高點，這些試題是命題專家將高中知識與大學知識進行巧妙結(jié)合，常常以高等數(shù)學知識為背景精心設(shè)計問題，注重考查學生的“四能”以及學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和探究、創(chuàng)新意識.這些試題對考生來說往往具有一定的挑戰(zhàn)性，其解題方法可以用高中知識去解決，自學過一些高等數(shù)學知識的考生也可以用高等數(shù)學知識去解決，顯得簡潔明快.本文對高考導數(shù)壓軸題的解法加以總結(jié)，主要有單調(diào)性法、最值法、分離參數(shù)法、主元法等方法，并用這些方法對一些高考題進行了分析與點評.

一、單調(diào)性法

（1）若a=3，求（fx）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：（fx）只有一個零點.

解析：（1）從略.

綜上所述，f（x）只有一個零點.

點評：該題第（1）問考查了學生對導數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識的運用，而第（2）問題目很簡單，但需要考生對零點存在性定理十分熟悉，此外，該題還需要學生會對函數(shù)賦值.

二、最值法

最值法在高考很多題目中都有涉及，與單調(diào)性等方面聯(lián)系緊密，最值法常常結(jié)合分離參數(shù)法進行考查，在導數(shù)的恒成立問題中應(yīng)用較為廣泛，通過將原不等式進行變形，將一般的不等式轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，從而求出方程某一邊的最大值或最小值.

例2（2018年全國卷Ⅰ文科第21題）已知函數(shù)f（x）=aex-lnx-1.

（1）設(shè)x=2是f（x）的極值點，求實數(shù)a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

解析：（1）從略.

（2）證明：因為ex＞0，所以當lnx-1.設(shè)g（令g0，解得x=1，所以當0＜x＜1時，g′（x）＜0；當x＞1時，g′（x）＞0，所以 g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以x=1是g（x）的極小值點，所以g（x）min=g（1）=0，所以f（x）≥g（x）≥g（x）min=0.

三、分離參數(shù)法

對于原方程中含有自變量與參數(shù)的方程或者不等式，直接求導不可行的時候，我們常常采用分離參數(shù)的方法，將參數(shù)放在方程的一側(cè)，在方程的另外一側(cè)構(gòu)造出新的函數(shù)，且分離參數(shù)隱性的需要滿足兩個條件，一是參數(shù)與自變量易于分離，二是分離參數(shù)后的方程易于求導或者進行相關(guān)變形、構(gòu)造等，從而使解題更加容易.

例3（2018年全國卷Ⅱ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a.

解析：（1）從略.

（2）由（1）可知，當a＜1時，y=ex和y=ax2函數(shù)圖像在y軸右半側(cè)相切，設(shè)切點為x0，可得

點評：該題如果運用直接討論法，計算過程比較煩瑣，且容易出錯.而運用參數(shù)分離法再結(jié)合函數(shù)圖像則會使解題變得簡單，考生也容易接受.

四、主元法

主元法是指在函數(shù)、方程或不等式當中含有多個參數(shù)時，選取其中的一個參數(shù)作為主變量，從而對這一主變量進行相關(guān)變形，構(gòu)造出恰當?shù)暮瘮?shù)，主元法在極值點的偏移中運用較為廣泛.

例4（2016年全國卷Ⅰ理文21）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

分析：（1）首先對函數(shù)求導，再對參數(shù)a進行分類討論并確定零點的個數(shù)；（2）根據(jù)（1）可知x1，x2的取值范圍及f（x）的單調(diào)性，要證明x1+x2＜2，只需證明f（x1）＞f（2-x2），即證明f（2-x2）＜0，代入原函數(shù)進行驗證即可求解.

解：（1）由題意知，f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）·（ex+2a）.

（i）當a=0時，則f（x）=（x-1）ex，f（x）只有一個零點.

（ii）當a＞0時，則當x∈（-∞，1），f′（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0.所以f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

（iii）當a＜0時，由f（′x）=0，解得x=1或x=ln（-2a）.

故f（x）存在兩個零點.f′（x）＜0；當x∈（ln（-2a），+∞）時，f′（x）＞0.因此f（x）在（1，ln（-2a））上單調(diào)遞減，在（ln（-2a），+∞）上單調(diào)遞增.又當x≤1時，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個零點.

綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）.

（2）不妨設(shè)x1＜x2.由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，所以x1+x2＜2等價于f（x1）＞f（2-x2），即f（2-x2）＜0，

所以f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2.

設(shè)g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，

則g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）.

所以當x＞1時，g′（x）＜0，而g（1）=0，故當x＞1時，g（x）＜0.

從而g（x2）=f（2-x2）＜0，故x1+x2＜2.

點評：此題選了x2作為主元，若選x1作為主元，其解法相同.