數學理解：在師生的有效對話中綻放精彩*

☉北京理工大學附屬中學 何拓程

以學生為主體，關注學生的發展是新課改的重要理念，高中數學的新課程教學，倡導師生互動、合作交流的教學方式，課堂中師生的有效對話受到了老師們的高度關注，成為了一個熱門話題.數學學習與理解緊密聯系，理解體現著學習的內涵，數學學習的結果又反映了理解的程度.促進學生理解是數學教學的本質特性，數學教學中的矛盾和活動均是以學生理解知識為中心構建，并借助外顯的行為表現的.由于數學是一門思維科學，因此數學教學是思維活動的教學，數學課堂是動態的思維場，通過對話能促進師生、生生之間的思維交流，數學課堂也因為對話變得更加生動活潑而富有靈氣.這無疑是數學理解的過程.［1］著名的教育家葉瀾教授說過：教學的本質意義是交往與對話.通過對話，師生的心靈距離才能拉近；通過對話，教師才能實現對學生真正有效的引導；通過對話，學生的個性才會有彰顯的平臺……因此，數學理解只有在師生的有效對話中才能綻放精彩.

一、在師生的有效對話中營造氛圍啟動探究

蘇霍姆林斯基說過：“老師應該想辦法使學生產生高昂的情緒，否則腦力勞動就會帶來疲倦.沒有歡欣鼓舞的心情，沒有學習興趣，學習也就成了負擔.”因此，每一堂課都要注意調動學生的興趣，開拓學生的思維，調動學生學習的積極性，并借助于情感傳導，把學生引到無比瑰麗的知識世界.教師要善于運用多種方法創設情境、營造氛圍，讓師生共同融入到和諧的情境之中，以激發學生強烈的求知欲望，敢于說出自己的想法，樂于表達自己的心聲，讓探究學習活動在師生的有效對話中自然、順暢地展開，從而使數學理解有一個美麗的開端.

案例1“三角函數的周期性”一課的教學片斷

師（觀看教室前面墻壁上貼的“課程表”，故意發出驚訝的聲音）：一學期有二十多周，一百五十多天，為什么這個“課程表”只列出了五天的課程？

生1：從星期一到星期五，每周的課程都是一樣的，即重復出現，所以只要列出星期一到星期五這五天的課程表，就可以知道這學期每一天的課程了.

師：很好！大家說，這種規律反映的是一個怎樣的現象？

生（眾）：周期現象.

師：在我們的經驗中，此類現象多嗎？

生2：很多啊，除“課程表”外，還有日出日落、月圓月缺、潮漲潮落、寒來暑往，等等，都呈現出這種周期性.

師：生2說得太好了，在自然界和我們的日常生活中，周期現象是大量存在的，那么，在我們的數學學習中，大家有接觸過周期現象嗎？

生3：有！正弦函數和余弦函數的函數值都是會重復出現的，它們都具有周期性.

師：非常好！正弦函數和余弦函數都具有周期性，稱之為周期函數.這節課，我們就來研究三角函數的周期性.你們知道，什么叫函數的周期性嗎？怎樣的函數叫周期函數呢？

生4：函數值能重復出現的函數叫周期函數.

師：能把它作為周期函數的定義嗎？

生（眾）：這只是粗略的文字語言，表述不夠精確.

師：先來看正弦函數f（x）=sinx，因為f（x+2π）=sin（x+2π）=sinx=f（x），所以當自變量x每增加2π時，正弦函數的函數值就會重復出現，因此正弦函數是周期函數，周期是2π.你能仿照上面的過程對余弦函數是周期函數來加以說明嗎？

生5：余弦函數f（x）=cosx，因為f（x+2π）=cos（x+2π）=cosx=f（x），所以當自變量x每增加2π時，余弦函數的函數值就會重復出現，因此余弦函數是周期函數，周期是2π.

師：很好，下面我們就來研究三角函數的周期性（板書課題）.

……

數學理解并非空中樓閣，它是數學教學真正的核心目標.在教學活動中，所有教師都以自己的方式努力構建起學生的理解，而不僅僅是信息的獲得和事實的記憶.因此，有效對話必須建立在學生現實學習的起點和理解能力上，教師需要充分認識到這一點，并以此為基點設計情境對話.教師的職能不僅僅是傳遞和訓導，而是要更多地去激勵與幫助；師生之間的關系不僅是以知識傳遞為紐帶，更是以情感交流為紐帶；教師的作用不再是去填滿倉庫，而是要點燃火炬.學生學習的靈感既要在靜如止水的深思中產生，更要在寬松的情景中、積極的發言中和相互的辯論中突然閃現.在上述案例中，執教者以一個學生非常熟悉的“課程表”作為問題情境展開教學對話，通過師生的對話幫助學生認識自然界中大量存在的周期現象，自然流暢地過渡到將要學習的周期函數，進而提出研究函數的周期性這一話題，把學生帶進函數周期性的探究活動中來，有效地調動了學生課堂參與的熱情，為學生的探究學習營造出輕松愉悅、自然和諧的氛圍，從而開啟了數學理解之門.

二、在師生的有效對話中經歷過程完善認知

建構主義學習理論認為，學生的學習不是知識由外到內的簡單轉移，而是通過新經驗與原有生活知識經驗的相互作用來充實、豐富和改造自己的知識經驗.數學理解正是基于這樣的認識，通過對話教學進行信息的交流互動，使知識增值、價值提升，從而建構出新的理解.因此，為使教學真正有效，就必須給學生充足的思考和對話的時間，讓學生在師生的有效對話中經歷知識的發生、發展的過程，建構起對新知識的認識和理解，使他們成為課堂學習的主人.從而使學生在有效對話的過程中實現知識的積淀、人文的浸潤、智慧的構筑和心靈的溝通.同時也達到增進數學理解的目的.

案例2“直線的斜率”一課的教學片斷

師：同學們研究過直線嗎？

生（眾）：在初中平面幾何中學習過直線，還有一次函數y=kx+b的圖象是直線.

師：很好！直線是大家熟悉的圖形，請思考：確定一條直線需要哪些條件？

生1：兩點確定一條直線.

師：還有其他確定直線的方法嗎？小時侯玩過蹺蹺板游戲吧？

生2：噢，我知道了，一個點和直線的方向也能確定一條直線.

師：點可以用它的坐標來表示，那么方向用什么刻畫呢？大家見過斜拉橋，其拉索可以看成是一條條方向不同的直線，對于橋面而言，它們的傾斜程度不同.那么，怎樣來刻畫直線的傾斜程度呢？

學生討論，總結出傾斜程度和高度與寬度的比即坡度有關.

師：如果任意給出一條直線，你能判斷出它的傾斜程度嗎？以直線AB為例，已知兩點A（x1，y1），B（x2，y2），你能用它們的坐標來刻畫其傾斜程度嗎？

生3：x1=x2時怎么辦呢？點A和點B是隨意取的嗎？

師：生3提出了兩個很有思考價值的問題，同學們思考一下該怎樣解決這兩個問題呢？

生4：當x1=x2時，上面的式子無意義，這表明：直線與x軸垂直時，其斜率不存在.

師：很好，也就是說，只有當x1≠x2時，即直線不與x軸垂直時，其斜率才存在.對生3的第二個問題，應該怎么解決呢？

生5：如果把A、B兩點沿直線方向分別移動到A1和B1點，那么由A1、B1兩點確定的直線斜率沒有發生變化，這說明點A和點B可以隨意取.

師：很好，現在同學們能給出直線斜率的定義嗎？

……

數學知識間的內在聯系十分緊密，任何新知識都因某種需要而產生，或者是在原有知識的基礎上進行延伸和擴展，所以都有著發生、形成和發展的過程.如果壓縮掉這一過程，就知識教知識，那么學生只能學到零散、孤立的知識，只能知其然而不能知其所以然，只能完成知識的簡單積累，而不能使原有的知識得到擴充和改造，以實現對新知識的有效建構和深層理解.［2］本案例中，執教者精心設計了一系列問題，從確定直線的條件、直線的方向與直線的傾斜程度的關系、用坡度刻畫直線的傾斜程度等入手，運用師生對話的方式，讓學生在師生的平等交流和愉快對話中經歷了直線斜率概念的形成過程，在直線的斜率與相關知識間的內在聯系的基礎上建構起對直線斜率概念的認識，深化了對直線斜率概念的理解，完善了認知，取得了數學理解的效果.

三、在師生的有效對話中探索規律啟迪思維

普通高中數學課程標準（實驗）中指出：“數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程.”［3］對學生而言，對話意味著心態的開放、主體性的凸現以及創造性的解放；對教師而言，對話意味著上課不僅要傳授知識，而且要分享理解；對教學而言，對話意味著參與，即學生、數學教材、教師之間進行一次次真情地交流.數學理解的過程正是學生的心理矛盾和問題意識產生和解決的過程.啟發學生大膽質疑、認真思考、積極探索，讓學生探索規律、發現問題、提出問題、發表見解，使學生在對話的過程中實現思維碰撞，并學會數學思考，完成對知識、思想和方法的領悟與理解，從而更好地促進學生的技能提升和思維發展.

案例3“等比數列前n項和”一課的教學片斷

師：在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求.西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格.國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚.為什么呢？

師：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？

在教師的引導下，學生寫出麥粒的總數：1+2+22+23+…+263.

師：你們知道這些麥子究竟有多少嗎？

（帶著這樣的問題，學生會動手算起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和.教師對他們的思路給予肯定后，接著提問.）

師：1，2，22，23，…，263是什么數列？有何特征？應歸結為什么數學問題呢？

生1：是首項為1，公比為2的等比數列，要求的就是這個等比數列的前64項的和.

師：很好！設S64=1+2+22+23+…+263，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯系？

生2：后一項都是前一項的2倍.

師：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，即（1）式兩邊同乘以2，則有2S64=2+22+23+…+263+264，記為（2）式.比較（1）、（2）兩式，你有什么發現？

（經過比較、研究，學生發現：（1）、（2）兩式中有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：S64=264-1.）

師：這種方法叫做錯位相減法.為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

生3：2是公比，乘以2后可以消去中間項.

師：非常好！我們能否將這個問題一般化呢？

生4：可以的.設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，運用上面的方法，可以求出前n項和Sn.

師：怎么求？試試看.

（這里，讓學生自主完成，并喊一名學生上黑板進行板書，然后對個別學生進行指導.在學生推導完成后，進行交流.）

對不對？這里的q能不能等于1？等比數列中的公比能不能為1？q=1時是什么數列？此時Sn為多少？

（引導學生對q進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎.）

……

在推導等比數列前n項和公式的教學過程中，不少老師舍不得花時間讓學生思考和交流，只是急急忙忙地拋出“錯位相減法”，快速地推導出公式，然后進行大量的有關公式的應用訓練，這樣做有悖于學生的認知規律：由求和想到相加，這是合乎邏輯、順理成章的事，為什么要相減呢？因為數學理解是在對研究對象的性質和關系深刻了解的基礎上得到的解決問題的具體方法，這些方法不是老師告訴學生的，而是要讓學生自己體會出來的.上述案例的教學處理，教師營造了一個讓學生主動觀察、積極思考的氛圍，留出了足夠的時間給學生探索，讓學生交流，同時，教師從學生的思維角度預設出相應的問題來引導學生思考，讓學生在思考中形成認識、產生頓悟，在師生的合作交流中明確規律，獲取方法.在這里，師生的有效對話引領了學生的思考，激發了學生的熱情，啟迪了學生的思維，從而實現了數學理解.