巧用數形結合，優化初中數學教學

賀明

摘 要：數形結合的實質就是有效將直觀圖形與數學語言相結合，令形象思維與抽象思維相融合，從而通過數形轉化以及圖形認識培養學生的形象性思維，進而使得復雜的數學問題變的簡單化，抽象的數學問題趨向于具體化。可以說，數形結合能揚數之長，取形之優，使得數形珠聯璧合、相映生輝。因此初中數學教學過程中，教師要適時滲透數形結合思想，從而使得學生有效運用數形結合思想解決相關的數學問題。

關鍵詞：數形結合;初中數學;課堂教學

數形結合是數學科目中一種極其重要的科學方法，其既能夠培養學生的創新精神，又能夠發散學生的思維，還能夠提升學生的解題能力。因此，教師不妨巧用數形結合思想，優化數學教學過程，提升教學質量。

一、引導學生用代數方式有效解決幾何問題

用代數方式有效解決幾何問題，就是用數的方式解決圖形的問題。如圖形的周長、面積或者其他的相關性質，都可以通過代數方式解決。

如這道例題：已知三角形ABC的三邊分別為m2-n2，2mn，m2+n2，其中m，n均為正整數，且m>n，求三角形ABC的面積。（用含有m、n的代數式表示）圖形的面積是一個幾何問題，一般而言，要想求出三角形的面積，就要知道三角形的底和高，然后通過底乘以高除以2的公式得出三角形的面積。但是在上述題目中，我們顯然無法知道三角形的底和高，因為題目中就給出了三角形的三個邊長。通過三個邊長這個已知條件，學生有可能就會想到，如果這三條邊滿足a2+b2=c2，那么就說明這個三角形是直角三角形，兩條直角邊就是三角形的底和高，進而就能求出三角形的面積。所以我們可以展開數的變形計算：（m2-n2）2+（2mn）2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，其滿足直角三角形的三邊關系，所以三角形ABC的面積就是（m2-n2）×2mn，化簡后就是m3n-mn3。

以數助形的題目還有很多，如證明圓內接矩形中正方形的面積最大。這個幾何證明題目，如果用幾何作圖的方式證明，就很難找到證明的突破口。但是如果用代數中求最值的方法來證明，則比較容易。學生可以通過圓半徑r與矩形邊長x，表示出矩形的鄰邊長，進而矩形的面積就是矩形邊長乘以矩形鄰邊長，求其最大值，就是圓內接矩形的最大面積。

二、引導學生運用數形結合思想解決具體問題

實際生活中的很多數學問題，都可以通過數形結合的思想加以解決。而且數形結合的思想貫穿于數學學習的始終，只是很多學生在學習時沒有意識到。如在小學低年級階段，經常會有這樣的題目：小明家住在幾樓，小明家以下有幾層樓，以上有幾層樓，小明家所在單元樓總共有幾層。如果學生能夠通過作圖的方式，就很容易計算出總體的樓層數。小學高年級遇到的植樹問題，在總長多少的道路上，每隔多少米植一棵樹等，也可以通過作圖的方式解決。

到了初中，當然也會遇到需要運用數形結合思想的數學問題，比較有代表性的應用題目就是路程中的相遇問題，某人或者某車從兩地相向而行，多長時間相遇，然后求速度或者路程。這種類型的題目也能夠通過作圖的方式快速解決，因為圖形會幫助學生一目了然地了解其中的數量關系。教師還可以引導學生在日常的學習活動中進行總結歸納，把所有適用于數形結合思想的題目總結到一起，進而快速解決。

三、引導學生結合圖形理解數學概念、性質定理

數學科目中會涉及大量的概念和定理，有些概念法則是通過推導得來的，有些概念法則是在長期的數學發展中約定俗成的，還有些概念法則與圖形有著密切的聯系。所以，在引導學生深入理解概念法則時，教師不妨通過作圖的形式，從而讓學生知其然也知其所以然。

首先是引導學生結合數軸理解實數的相關概念。何為實數？有理數和無理數統稱為實數，數軸上的點與實數一一對應。那么什么是相反數呢？表示在數軸上就是到數軸原點距離相等的數，與此同時，學生也會理解絕對值的意義，絕對值就是距離，所以無論是正數還是負數，他們的絕對值都是正數，因為只有正數才能表示某一點到原點的距離。可以說，一個數軸，就能幫助深刻理解實數、相反數以及絕對值等概念的意義。而且在數軸上，數的大小關系一目了然，所以學生在比較負數的大小時，就更能清楚其中的意義。

其次是函數的相關性質。如一次函數的斜率，表示在函數圖像上就是直線的傾斜程度。如一次函數的截距，其意義就是一次函數圖像與y軸交點到原點的距離。如二次函數的對稱軸，就是函數圖像處于最高點或者最低點時所對應的與x軸垂直的直線。

再次，方程與函數也有著一定的聯系。二元一次方程所對應的解，就是二次函數與x軸的交點。如果二元一次方程有兩個解，那么就是二次函數與x軸有兩個不同的解。類似的，還有二元一次方程一個解和沒有解時，二次函數圖像均與x軸有著不同的交點。

總而言之，數形結合是一種非常重要的數學思想，如果學生學會了數形結合思想的靈活運用，那么學生就能更深刻地感受到解決數學問題的成就感，就能增強學好數學的自信心。因此，教師要在教學活動中有效滲透數形結合的思想，從而全面提升學生的數學素養。

參考文獻：

[1]徐朝君.例談數形結合在解題中的應用[J].中學數學教學參考，2019（15）.

[2]黃利軍.數形結合在初中數學高效課堂中的運用[J].新課程（下），2019（6）.

編輯 馮志強