基于口袋儀器實驗室的一階/二階系統響應綜合性實驗

張志明, 李蓉艷

(同濟大學 電子與信息工程學院, 上海 200092)

工程認證標準的自動化類專業培養方案體系中,信號與系統與自動控制原理是兩門重要的專業基礎課程[1-4],其教學內容相互銜接,前者是后者的先修課程,后者是前者的深化應用。兩者共同的基本教學目的是使學生理解和掌握系統的基本理論和基本方法,同時提高學生的創新意識和實踐能力。基礎理論知識作為課程教學中的重點內容和難點內容,國內外的教材中均有詳細論述[1-4],但對于本科學生來說,由于學習內容同時兼備較強的專業理論性和工程實用性,初學時很容易陷入強記數學公式的誤區,故需要改革課程的實驗內容、配合理論教學、強化和補充學習效果[5-8]。

1 線性時不變系統的響應特性

線性時不變系統是信號與系統和自動控制原理課程中的學習和研究對象,其中一階/二階系統是構成復雜系統的基本單元,無論是實驗教學還是工程實踐,應用極為普遍,學習一階/二階系統的性能分析有助于加強對一般系統特性的理解和掌握,具有重要的實際意義。以二階系統為例,其數學模型可以用二階微分方程表示,轉換為s域傳遞函數的標準形式如下式:

(1)

時域分析是3大分析方法之一,在時域中研究問題,重點討論系統在輸入信號作用下的過渡過程響應形式,其特點在于直觀與精確,例如對于欠阻尼二階系統對象,阻尼比ξ、自然頻率ωn、阻尼振蕩頻率ωd和各項動態性能指標均可以從階躍響應波形上直接判讀或間接計算得到,如圖1所示。

圖1 二階欠阻尼系統的時域性能指標

傳統的一階/二階系統響應實驗在模擬實驗箱上完成[9],并通過外部示波器觀察系統的響應和各項動態指標,由于內部電路結構和參數固定,只能局限于簡單的驗證性實驗,實驗內容難以擴展。另外,采用Matlab等軟件實現的仿真實驗靈活多樣,但局限于理論模型計算,對所依托的實際硬件電路和物理信號不能直接測試和分析[10-11]。因此,本文圍繞工科學生工程實踐能力培養目標,以實際教學內容理論基礎為依托,基于便攜式口袋儀器實驗室,軟件和硬件結合,設計與實現貫通信號與系統及自動控制原理課程的一階/二階系統響應綜合創新性實驗。

2 口袋儀器實驗室

虛擬儀器技術的引入使得計算機在ELVIS硬件平臺的支持下可以由軟件實現常規儀器功能[12],豐富了實驗手段,但受限于相關設備平臺的成本和體積,普通院校很難滿足學生的需求。Digilent公司的低成本迷你便攜式學生設備AnalogDiscovery2具有多個基于計算機的通用實驗室儀器功能[13],針對測試學習及應用,可與WaveForms[14]軟件及實驗電路結合,為工科學生提供一個隨時隨地都可以開展學習和工程創新實踐的“口袋儀器實驗室”。

AnalogDiscovery2通過FlyWire導線探針連接到實驗電路,具有2個差分模擬輸入通道(1MΩ,±25V,14位,100MS/s),用于示波器、頻譜分析儀、網絡分析儀、電壓表等儀器；2個模擬輸出通道(±5V,14bit,100MS/s),用于信號發生器；16通道數字輸入/輸出(高速TTL)，用于邏輯分析儀、數字模式發生器等儀器；同時可對外提供2個可編程電源(0～+5V,0～-5V)接口。AD2連接至計算機的USB接口,由WaveForms軟件驅動[14],用戶通過簡潔易用的圖形化界面操作,配置為以上所述的多種實驗室功能儀器。AD2NIEdition的接口定義和WaveForms軟件界面分別如圖2中所示。

圖2 Digilent Analog Discovery2外部信號接口定義及Waveforms軟件界面

3 一階/二階系統響應實驗設計與實踐

一階/二階系統響應綜合創新性實驗的硬件由口袋儀器實驗室AnalogDiscovery2和系統響應實驗功能電路組成,在WaveForms軟件的控制下實現對一階/二階系統響應的觀察與特性分析,系統結構框圖如圖3所示。信號發生器模塊產生連續時間信號作為激勵送入實驗功能電路,和系統時域響應信號一起接入雙通道示波器模塊,實驗電路所需的±-5V工作電源由可編程直流電源模塊提供。

圖3 一階/二階系統響應實驗系統結構框圖

3.1 實驗電路的驅動信號生成與輸出信號波形測量

使用口袋儀器實驗室的信號發生器模塊[13],代替傳統實驗方法中的外部儀器或者實驗箱電路,生成的連續時間信號通過W1/GROUND模擬量輸出端口輸出。在Waveforms軟件的Wavegen軟面板界面[14]中可以方便地設置和調整典型激勵信號(階躍信號、脈沖信號和斜坡信號等)的類型和參數。

口袋儀器實驗室的示波器(Scope)模塊具備示波器的常用功能,用于數據采集及信號分析,操作方法與實驗室中的真實示波器類似。兩對模擬量差分輸入通道(1+/1-和2+/2-端口)可同時測量兩路模擬信號,利用杜邦線連接或排母排針對插,接入示波器輸入端口,同時測試并同屏顯示其波形和參數。

口袋儀器實驗室的Spectrum(頻譜分析儀)和Network(網絡分析儀)分別用以分析系統信號的頻率特性和測試系統的傳遞函數,其激勵信號生成可復用信號發生器的模擬量輸出端口,信號采集端口則與示波器的兩對模擬差分輸入通道復用。

3.2 基礎實驗電路設計與實踐

含有儲能元件電感L和電容C的電路有著廣泛的應用[15],如振蕩器、濾波電路、調諧放大器等,在用微分方程或系統函數進行建模和分析時,和機械、液壓、氣動等實際系統具有相同的數學模型[1-2],微分方程的階數由電路中獨立的儲能元件個數決定。以此為基礎設計與實現的實驗功能電路,可很容易地采用實物元器件在面包板或實驗臺上搭建真實電路,進行電路測試或分析。本實驗提供搭建的無源RC一階系統/RLC二階系統電路如圖4(a)所示,配合口袋儀器實驗室,可完成如下基礎實驗項目:

(1) 無源RC一階系統/RLC二階系統的數學建模與時域求解(理論解析)；

(2) 采用無源器件搭建與調試簡單實驗系統；

(3) 一階/二階系統在階躍信號、脈沖信號和斜坡信號等典型激勵信號下的輸出波形響應,了解一階/二階系統的響應特性；

(4) 利用階躍響應法、頻域分析法求解系統函數表達式中的重要參數(阻尼比ξ、無阻尼自然角頻率ωn)和各項動態性能指標。

當圖4(a)中的跳線開關S1和S2斷開時,實驗電路為典型的RLC串聯二階系統,其系統傳遞函數為

實驗時圖4(a)中電位器VR1的阻值從10kΩ開始逐漸減小至零,即可改變系統阻尼比ξ,使系統分別處于過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼、無阻尼狀態,用示波器觀察和記錄系統輸入信號和階躍響應輸出,結果分別如圖4中的(b)、(c)、(d)、(e)所示。

需要注意的是,在整個實驗電路的實施過程及調試中,無論是在面包板上搭建電路,還是通過實驗板飛線連接,或者直接制作電路PCB時,都必須提醒學生考慮到系統實物對象與理想數學模型之間的差異性。例如,R=0 Ω時計算得到系統阻尼比ξ=0,此時理論上系統階躍響應形式應該是無阻尼狀態的等幅振蕩,但圖4(e)中實際波形為衰減振蕩(和欠阻尼狀態時的響應波形類似)。究其原因,是電路中實際的電感線圈和電容器元件都具有損耗電阻,其實際參數值與標稱參數值之間也有誤差。學生需要在實驗過程中據此對系統元件參數設計進行必要的修正,實驗電路才能和理論解析一致正常工作,相關的分析可以作為實驗考核報告的擴展組成部分。

3.3 擴展實驗項目

在基礎實驗以驗證性實驗基礎上,利用口袋儀器實驗室AD2的多種儀器功能,可以方便地擴展實驗項目和內容。仍以前述的RLC串聯二階系統為例,可以學習與掌握測試系統頻率響應的方法。系統的頻率響應H(jω)=|H(jω)|ej φ(ω),由幅頻特性|H(jω)|和相頻特性ej φ(ω)組成,分別表征了系統對輸入信號的放大特性和延時特性,有著重要的理論價值和實用價值。系統的過渡過程與頻率響應有確定的關系,一階和二階系統可直接用數學方法來解析求解,高階系統的求解過程則需要很多時間,在工程實踐中實際意義不大。建立在頻率響應基礎上的分析和設計方法,稱為頻率響應法,根據頻率響應的特征量直接估計系統過渡過程的性能,再分析系統的穩定性和其他特性,是信號與系統以及自動控制理論中的基本方法之一[1-3]。

常規的實驗手段測量線性系統頻率響應,需要在所考察的頻率范圍內選擇若干個頻率值,分別測量各個頻率下輸入信號(正弦信號)和系統穩態輸出(正弦信號)的振幅和相位角值,繪出所對應的頻率響應曲線。這樣的實驗過程繁瑣并且誤差較大[9],影響實驗效果。使用AD2口袋儀器實驗室的Network(網絡分析儀),基于正弦掃頻法,其激勵信號受軟件控制,按所設置的頻率范圍和樣本點數參數自動掃頻輸出,系統的激勵信號和響應信號分別接入到兩路輸入通道,由軟件自動采集和計算,可直接獲得系統的波特圖(幅頻特性和相頻特性)曲線。測試結果如圖5中所示(R=400 Ω,ξ=0.2, 欠阻尼),實驗結果與時域理論解析及Mulitsim軟件仿真結果相近似符合。

3.4 多樣化綜合實驗

實驗項目如果僅驗證教學內容,學生缺少動手實踐機會,很難讓學生產生深刻的感性認識和激發學習的興趣,對學生動手能力提高有限。在前述基礎實驗和擴展實驗項目的基礎上,通過理論知識仿真化、軟件實驗硬件化和硬件實驗設計化等手段,開展多樣化的綜合性實驗設計,以達到開闊學生思路、激發學習興趣的目的。

以常見的I型二階系統為例,受電子器件的物理特性約束,采用RLC元件構成的無源電路系統只能近似接近理想特性,而采用運算放大器、電阻、電容等模擬器件的有源電路系統特性更好[15],可構成比例、積分、一階慣性等典型環節,通過串聯/并聯/反饋形式組合為復雜系統。I型二階系統原理電路見圖6，S1開關斷開時,為二階開環系統；S2開關接通時,為二階閉環系統。多樣化綜合實驗要求學生必須先對二階電路系統建模,設計并仿真系統函數(使用Matlab或Multisim軟件),分析和討論系統參數對系統頻響特性的影響和相應的設計指標,并在仿真成功后再準備好相應的元器件和連接線裝配調試,對最終得到的響應信號結果進行分析和討論,從而深刻掌握輸入激勵、輸出響應信號與系統在時域、頻域的對應關系及物理意義。

圖5 二階系統波特圖(幅頻特性和相頻特性)

圖6 I型二階系統的原理電路

該I型二階系統的典型分析與綜合設計實驗需要綜合運用時域和頻域分析方法,由學生自主完成設計實驗、分析與解釋數據的工作,最后通過信息綜合得到合理有效結論。實驗包括如下內容:

(1) 典型二階系統模擬電路的構成方法及I型二階開環/閉環系統的傳遞函數建模與仿真；

(2) I型二階開環/閉環系統的結構參數(自然頻率ωn、阻尼比ξ)對系統響應過渡過程的影響研究；

(3) 掌握欠阻尼I型二階閉環系統在階躍信號輸入時的動態性能指標MP、tP、ts的計算；

(4) 設計實驗電路,搭建實物系統,使用AD2口袋儀器實驗室進行測試分析；

(5) 分別觀察和分析I型二階閉環系統在階躍信號輸入時,欠阻尼,臨界阻尼,過阻尼狀態的瞬態響應曲線及其動態性能指標tr、MP、tP、ts值,并與理論計算值作對比。

實驗電路中激勵信號在輸入到實際功能實驗電路之前,先經過一個前置的電壓跟隨器U1A,這是因為對于本實驗電路,當調節電位器VR4阻值近似為零時,系統蛻變為近無阻尼系統,此時因AD2激勵信號源的驅動能力有限,系統響應和理論模型相比可能會有較大誤差,所以需要增加一個電壓跟隨器以增強激勵信號的驅動能力；同理,系統的輸出響應信號的后級也增加有一個電壓跟隨器U1B。

表1 I型二階系統動態性能指標(欠阻尼狀態,閉環系統)

注:1.括號內數值為測量值；2.K、wn和ξ都為計算值。

完整的系統響應實驗裝置硬件單元組件包括Analog Discovery2口袋儀器實驗室和實驗電路(可用萬能板或面包板搭建),如圖7所示。其中萬用板右下方紅線框中為無源RC一階系統/RLC二階系統電路,配套AD2使用時需要FlyWire杜邦線連接；萬用板其余部分為I型二階系統的有源模擬電路,同樣也可以使用FlyWire,更可靠的連接方式是通過雙排彎排母和AD2的雙排插針直接對插固定連接,避免飛線連接引起的導線松動或接錯問題。

圖7 基于口袋儀器實驗室的系統響應實驗裝置

4 結語

由被動性學習到主動性學習最好的方法就是實踐,引入便攜式口袋儀器實驗室,給學生提供了一個基礎理論分析計算與實際工程問題相結合的創新實踐平臺,為專業課程的學習和工程素質的拓展奠定良好的基礎。作為隨課實驗在課堂現場進行時,學生可直接參與實驗過程,直接有機整合到理論內容的教學中。更重要的是,可以由學生在課后根據教學要求自主進行實驗設計、分析和調試,將一般驗證性實驗擴展為課后自主綜合性實驗,從相對狹窄的課程理論內容擴展到寬口徑專業基礎和創新能力培養。

致謝:感謝同濟大學電子與信息工程學院控制科學與工程系碩士研究生王德明、壽佳鑫、鐘政同學對課程教學和實驗調試的支持！