語言直覺模糊數(shù)的可能度排序方法及其應用

，，

(西華大學無線電管理技術研究中心， 四川 成都 610039)

美國控制論專家Zadeh在1965年提出模糊集[1]，用隸屬度來刻畫事物的模糊性和不確定性并用[0,1]上的單個數(shù)值來表示。在1966年，學者Moorse提出區(qū)間值模糊集[2]，即用一個[0,1]中的子區(qū)間表示隸屬度，更進一步描述事物的模糊性，并在1979年提出區(qū)間值模糊集的基本運算及其應用[3]。隨后，學者對區(qū)間值模糊集進行研究并對一組區(qū)間數(shù)進行排序，已有的排序方法可分為兩類：一是確定性排序方法[2-5]，二是基于度的排序方法[6-16]。確定性排序方法只能給出兩個區(qū)間數(shù)的絕對大于、小于或等于關系，無法反映區(qū)間數(shù)所代表的不確定性，而基于度的排序方法既可以給出兩個區(qū)間數(shù)的排序，又可以給出兩個區(qū)間數(shù)之間相對大小的可能程度，還可以反映區(qū)間數(shù)的不確定程度；因此與確定性排序方法相比更具有適用性和理論研究價值。例如，徐澤水等[8]定義區(qū)間數(shù)的可能度并提出一種基于可能度的排序方法，以及在文獻[8]中證明與文獻[7]和[16]中提出的可能度公式等價。在1986年，又有學者Atanassov[17-18]將模糊集進行推廣提出直覺模糊集，即用隸屬度和非隸屬度來描述事物的模糊性和不確定性，與模糊集相比在描述對象模糊性上更具有靈活性和適用性。隨后學者將直覺模糊集轉化到區(qū)間值模糊集上進行討論。例如，Li[19]將直覺模糊數(shù)轉化為區(qū)間數(shù)并定義直覺模糊數(shù)的可能度；Wei等[20]再次定義直覺模糊數(shù)的可能度并提出新的基于可能度的排序方法。

由于實際決策問題的復雜性和人類思維的模糊性，在含有不確定和不完備信息的決策問題中使用自然語言描述是直接有效的。為了應對語言描述固有的不確定性和含糊性，1975年，Zadeh提出語言變量[21]一詞并建立模糊語言方法。2004年，Xu[22]提出不確定性語言變量和可能度定義以及不確定性語言加權聚合算子和不確定性語言混合聚合算子。考慮到直覺模糊集和模糊語言方法所具有的優(yōu)勢，在2015年，Chen等[23]提出語言直覺模糊數(shù)，用語言值表示隸屬度和非隸屬度，更進一步描述事物的模糊性和不確定性。他們同時提出一系列聚合算子，如有序加權平均聚合算子，并提出語言直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)對語言直覺模糊數(shù)進行排序。目前，在現(xiàn)有文獻中關于語言直覺模糊數(shù)的排序方法和決策方法研究得比較少，并且對某些語言直覺模糊數(shù)的比較不合理，更重要的是語言直覺模糊數(shù)在處理決策問題中更具有優(yōu)勢，值得進一步研究。

1 預備知識

1.1 直覺模糊集

定義1[17]設X是一個非空論域，定義在X上的直覺模糊集表示為A={}，μA(x),νA(x)∈[0,1]分別表示?x∈X屬于A的隸屬度和非隸屬度且滿足0≤μA(x)+νA(x)≤1。通常，稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為x∈X的直覺指標或猶豫度；當πA(x)=0時，直覺模糊集退化為模糊集。

定義2[18]設a1=,a2=是兩個直覺模糊數(shù)，Atanassov偏序滿足以下關系：

1)u1≥u2,v1u2,v1≤v2時，則a1>a2；

2)u1=u2,v1=v2時，則a1=a2；

3)u1>u2,v1>v2時，則a1,a2無法比較。

定義3[20]設a1=，a2=是兩個直覺模糊數(shù)且至少有一個不退化為模糊數(shù)，其可能度定義如下：

(1)

上述可能度公式與文獻[7,8,16,20]中提出的可能度公式等價，此處不做詳細證明。

例1 設a=<0.5,0.3>,b=<0.4,0.2>,c=<0.2,0.5>都是直覺模糊數(shù)。

1.2 模糊語言方法

模糊語言方法是一種通過語言變量語義使用語言值表示定性方面的近似技術。

定義4[25]設S={s0,s1,s2,…,sg}是一個給定的有序語言項集，si表示語言變量的可能取值，g取自然數(shù)。例如一個含有5個語言項的集合S，如下：

S={s0=none,s1=low,s2=medium,

s3=high,s4=perfect}

對?si,sj∈S，其中i,j∈{0,1,2,…,g}，滿足以下性質：

1)有序性：如果i≤j，則si≤sj；

2)可逆性：neg(si)=sg-i；

3)取大算子：如果si≤sj，則sj=max(si,sj)；

4)取小算子：如果si≤sj，則si=min(si,sj)。

1)sα⊕sβ=sβ⊕sα=sα+β;

2)sα?sβ=sβ?sα=sαβ;

3)λsα=sλα;

4)(sα)λ=sαλ。

由文獻[28]知道，語言項的計算可直觀地看成語言項下標計算。

1.3 語言直覺模糊集

直覺模糊數(shù)是采用[0,1]上的實數(shù)來表示隸屬度和非隸屬度的。然而，在大多數(shù)情況下，由于環(huán)境的復雜性和人類思維的含糊性，決策信息是不確定的、模糊的，精確地數(shù)字不再適用于這些決策問題；因此，引入用語言值表示隸屬度和非隸屬度的語言直覺模糊數(shù)。

定義7[23]設?,,∈Γ[0,g]且λ>0，其基本運算如下：

與直覺模糊數(shù)類似，Chen等[23]提出語言直覺模糊數(shù)的語言得分函數(shù)和語言精確函數(shù)并給出任意兩個語言直覺模糊數(shù)的比較方法。

定義8[23]設γ=(su,sv)∈Γ[0,g]，記Ls(γ)=u-v,Lh(γ)=u+v，稱Ls(γ)、Lh(γ)為γ的語言得分函數(shù)和語言精確函數(shù)。

定義9[23]設?γ1=(su1,sv1),γ2=(su2,sv2)∈Γ[0,g]，有以下關系：

1)如果Ls(γ1)>Ls(γ2)，那么γ1>γ2；

2)如果Ls(γ1)

3)如果Ls(γ1)=Ls(γ2)，

(ⅰ)若Lh(γ1)>Lh(γ2)，則γ1>γ2；

(ⅱ)若Lh(γ1)

(ⅲ)若Lh(γ1)=Lh(γ2)，則γ1=γ2。

顯然，對?(su,sv)∈Γ[0,g]，有(s0,sg)≤(su,sv)≤(sg,s0)。

定理1[23]設γ1=,γ2=∈Γ[0,g]，如果μ1≥μ2且ν1≤ν2，那么γ1≥γ2，當且僅當μ1=μ2且ν1=ν2時γ1=γ2。

為了將決策信息聚集，本文引入一個常用的聚合算子，如下。

(2)

2 語言直覺模糊數(shù)的可能度排序方法

2.1 語言直覺模糊數(shù)的可能度

定義11 設?α1=,α2=∈Γ[0,g]，當u1+v1=u2+v2=g，α1和α2退化為語言值，則稱

(3)

為α1大于α2的可能度。

定義12 設?α1=,α2=∈Γ[0,g]，當u1+v1=g和u2+v2=g不同時成立即α1和α2不同時退化為語言值，則稱

(4)

為α1大于α2的可能度。

定理2 設?α1=,α2=,α3=∈Γ[0,g]，則有以下性質：

1)1≥p(α1>α2)≥0；

3)互補性：p(α1>α2)+p(α2>α1)=1；

證明顯然，根據定義，以上性質成立。

對于語言直覺模糊數(shù)，Chen等[23]定義語言得分函數(shù)和語言精確函數(shù)并提出基于語言得分函數(shù)和語言精確函數(shù)的比較方法。此處結合語言直覺模糊數(shù)的可能度，得到如下結論。

必要性。設Ls(α1)≥Ls(α2)，即u1-v1≥u2-v2?u1+v2≥u2+v1。

當u1≤u2,v1>v2oru1

當u1g-v2≥u2>u1且u1+v2≥u2+v1，

綜上所述，故定理3得證。

2.2 語言直覺模糊數(shù)的可能度排序方法

根據上述分析，結合可能度和語言精確函數(shù)定義任意兩個語言直覺模糊數(shù)的序關系。

定義13 設?α1=,α2=∈Γ[0,g]，它們的序關系如下：

當Lh(α1)=Lh(α2)時，則α1≈α2。

對于一系列語言直覺模糊數(shù)，把它們進行兩兩比較，根據定義12計算出可能度并構造出一個可能度矩陣P=(p(α1>α2))n×n，該矩陣包含所有語言直覺模糊數(shù)兩兩比較的全部信息。于是可以得到以下結論。

定理4 可能度矩陣P=[p(α1>α2)]n×n是一個模糊互補判斷矩陣。

證明由定理2的性質1)、3)即可證明。

根據文獻[24]，將可能度排序問題轉化為求解可能度矩陣的排序向量即優(yōu)先權重問題，其排序向量由如下公式計算：

(5)

基于優(yōu)先權重越大其值越大的思想，于是結合語言精確函數(shù)給出任意兩個語言直覺模糊數(shù)之間的比較方法。

定義14 設?α1=,α2=∈Γ[0,g]，它們的序關系如下：

2)如果w1=w2，那么

當Lh(α1)=Lh(α2)時，則α1≈α2。

根據以上所述，本文設計出一個關于語言直覺模糊數(shù)的可能度排序方法，如下：

Step1：根據定義12中的公式(4)計算任意兩個語言直覺模糊數(shù)之間的可能度p(ai>aj)(i,j=1,2,…,n)并構造可能度矩陣P=(p(ai>aj))n×n；

Step2：再根據公式(5)計算出每一個語言直覺模糊數(shù)αi的優(yōu)先權重wi；

Step3：然后計算每一個語言直覺模糊數(shù)αi的語言精確函數(shù)Lh(αi)；

Step4：最后依據定義14，得到一系列語言直覺模糊數(shù)的排序結果。

例2 設4個語言直覺模糊數(shù)γ1=,γ2=,γ3=和γ4=∈Γ[0,8]，關于其排序方法如下。

Step1：根據定義12中的公式(4)計算γi(i=1,2,3,4)偏好度并構造偏好度矩陣為

Step2：再根據公式(5)計算每一個語言直覺模糊數(shù)γi對應的優(yōu)先權重，得到其排序向量為w=(0.2584,0.375,0.125,0.2416)。

Step3：計算每一個語言直覺模糊數(shù)γi對應的語言精確函數(shù)，得Lh(γ1)=7.531和Lh(γ2)=7.402,Lh(γ3)=7.086,Lh(γ4)=7.292。

3 語言直覺模糊環(huán)境下基于可能度的多屬性群決策方法

3.1 語言直覺模糊環(huán)境下的多屬性群決策問題

在多屬性決策中，屬性權重是一個重要的研究課題。在實際的應用中，由于專家具有不同的知識領域和不同的偏好等因素，因此屬性權重對于不同的專家具有不同的重要性。可以說，對于不同的專家，屬性權重相同是一種特殊情況。例如，新城的建立需考慮地理環(huán)境、人口、經濟、文化等因素，有的專家認為地理環(huán)境先天影響著城市今后的建設發(fā)展，有的專家則認為經濟是影響城市建設的重要因素。因此，不同的專家應該具有不同的屬性權重是合理的。于是設

3.2 語言直覺模糊環(huán)境下基于可能度的多屬性群決策方法

基于上述分析，一個語言直覺模糊環(huán)境下基于可能度的多屬性群決策方法概括如下：

(6)

(7)

其中，υ=(υ1,υ2,…,υl)Τ是專家權重。

Step3：根據公式(4)計算方案ai與ai*對應的整體綜合值ri與ri*的偏好度為pii*，并構造構造可能度矩陣P=(pii*)m×m(i,i*=1,2,…,m)；

Step4：根據公式(5)計算出ri(i=1,2,…,m)對應的優(yōu)先權重wi及其排序向量；

Step5：然后由定義8計算ri(i=1,2,…,m)對應的語言精確函數(shù)Lh(ri)；

Step6：最后根據定義14，得到所有ri(i=1,2,…,m)的排序結果以及選擇最佳方案。

4 案例分析

引入文獻[23]中的例子，一個語言直覺模糊信息環(huán)境下尋求全球最佳供應商的多屬性群決策問題。

設A={a1,a2,a3,a4}是一個含有4個潛在全球供應商的集合即備選方案集，評價準則即屬性集C={c1,c2,c3,c4,c5}，其中cj(j=1,…,5)分別表示生產成本、產品質量、服務水平、供應商的利益以及風險因素。4個決策者給定的有序語言項集

S={s0=extremly poor,s1=very poor,s2=poor,s3=slightly poor,s4=fair,s5=slightly good,s6=good,s7=very good,s8=extremely good}。

接下來利用本文所提出的決策方法選擇最佳方案。

Step1：假設專家dk(k=1,2,3,4)的屬性權重分別為

ω1=(0.14,0.17,0.26,0.13,0.30)T，

ω2=(0.17,0.27,0.16,0.20,0.20)Τ，

ω3=(0.17,0.15,0.30,0.20,0.18)Τ，

ω4=(0.17,0.32,0.18,0.20,0.13)Τ。

r1=(s5.388,s2.108),r2=(s6.111,s1.306),

r3=(s5.180,s1.986),r4=(s5.352,s1.914)。

Step3：根據公式(4)計算方案ai與ai*即ri與ri*的偏好度pii*，并構造構造可能度矩陣為P=(pii*)m×m(i,i*=1,2,3,4)：

Step4：根據公式(5)計算出方案ai即ri(i=1,2,3,4)的優(yōu)先權重及排序向量為

w=(0.206,0.375,0.164,0.255)。

Step5：由定義8計算ri(i=1,2,3,4)的語言精確函數(shù)Lh(ri)為

Lh(r1)=7.496,Lh(r2)=7.417,

Lh(r3)=7.166,Lh(r4)=7.266。

Step6：最后根據定義14的序關系，得到ri(i=1,2,3,4)的排序結果為r2>r4>r1>r3，即是方案a2最優(yōu)，方案a4次之，方案a1再次之，而方案a3最差。

由定義8計算ri(i=1,2,3,4)的語言得分函數(shù)Lh(ri)為Ls(r1)=3.280,Ls(r2)=4.805,

Ls(r3)=3.194,Ls(r4)=3.438，顯然有Ls(r2)>Ls(r4)>Ls(r1)>Ls(r3)，再根據文獻[25]中提出的比較方法可得它們排序結果為r2>r4>r1>r3即a2>a4>a1>a3，同本文的排序結果相比，其排序相同。因此，本文提出的語言直覺模糊環(huán)境下基于可能度的排序方法是合理有效的。特別地，考慮兩個語言直覺模糊數(shù)γ1=,γ2=，根據得分函數(shù)的精確函數(shù)的比較方法發(fā)現(xiàn)γ1是完全小于γ2的，即γ11<γ2，而根據本文提出的方法發(fā)現(xiàn)γ1是不完全小于γ2的，即γ12/3<γ2。于是從得分函數(shù)和精確函數(shù)的計算和比較過程中不難看出，這種基于得分函數(shù)和精確函數(shù)的比較方法是一種粗糙的比較方法，它只考慮隸屬度和非隸屬度對兩者大小比較的影響，而沒有考慮猶豫度對大小比較的影響，更重要的是這是一種確定性的排序方法，其本身就存在缺陷。然而本文提出的可能度排序方法是一種基于度的比較方法，既可以給出兩個語言直覺模糊數(shù)的大小比較，又可以給出兩者相對大小的可能程度，而且還可以反映其不確定性程度。因此本文提出的排序方法與之相比更加精確更具有說服力，而且更具有適用性和理論研究價值。

5 結論

本文受到區(qū)間可能度和不確定語言變量的可能度定義的啟發(fā)，針對語言直覺模糊數(shù)的比較排序，結合Atanassov偏序對可能度的定義范圍進行適當改進提出語言直覺模糊數(shù)的可能度定義，并且討論一些相關性質。通過構造可能度矩陣將比較排序問題轉化為求解排序向量即優(yōu)先權重的問題，并提出基于可能度的語言直覺模糊數(shù)排序方法。該方法不僅具有Atanassov偏序的確定性排序優(yōu)點而且還具有基于度的排序優(yōu)點，既可以給出兩個語言直覺模糊數(shù)的大小比較，又可以給出兩者相對大小的可能程度，更具有實用價值和理論研究價值。這種方法和基于得分函數(shù)和精確函數(shù)的粗糙的確定性排序方法比較起來，其計算結果更加精確更具有說服力。本文提出的可能度排序方法可推廣到其他方面，如猶豫模糊集。