命題須謹慎，探究顯身手
——從一道數(shù)列模擬題談起

☉江蘇省宿遷中學 張保安

每年各地的高考數(shù)學模擬題中，都會出現(xiàn)一批構思新穎、亮點十足的原創(chuàng)題，此類問題往往很好地體現(xiàn)了“源于課本、高于課本、穩(wěn)中求變、應用創(chuàng)新”的原則，以現(xiàn)行教材為依據(jù)，從知識層面、能力層面、素養(yǎng)層面等方面切入，力求求實、求變、求新、求活，知識全面，亮點頻出.同時，也有一些模擬題由于種種原因，考慮不全面，出現(xiàn)不嚴謹、不科學的情況.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2019年無錫高三教學質量檢測）已知數(shù)列{an}滿足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則（）.

A.a5≤4a2-3a1B.a2+a7≤a3+a6

C.3（a7-a6）≥a6-a3D.a2+a3≥a6+a7

本題設置巧妙，題意新穎，簡潔明了，以數(shù)列遞推關系式為問題背景，同時很好地綜合、交匯與融合了函數(shù)、不等式等相關知識，是一個非常不錯的原創(chuàng)題.同時其又具備了函數(shù)中類似的關系式，為利用函數(shù)的凹凸性來處理問題指明方向，也為進一步的規(guī)律總結、變式拓展提供條件.

二、解法剖析

思維方法1：結合條件中遞推數(shù)列的性質，通過數(shù)列不等式的轉化，列出一系列對應的數(shù)列不等式，再利用不等式的相關性質加以綜合處理，并逐項進行分析，進而得到正確的結論.

解析1：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），可得anan-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

則知a7-a6≥a6-a5≥a5-a4≥a4-a3≥a3-a2≥a2-a1.

（1）結合不等式的性質可得（a5-a4）+（a4-a3）+（a3-a2）≥3（a2-a1），

即a5-a2≥3（a2-a1），亦即a5≥4a2-3a1，故選項A錯誤；

（2）由以上不等式可知a7-a6≥a3-a2，

則有a2+a7≥a3+a6，故選項B錯誤；

（3）由以上不等式可得3（a7-a6）≥（a6-a5）+（a5-a4）+（a4-a3），即3（a7-a6）≥a6-a3，故選項C正確；

故選擇答案：C.

思維方法2：（函數(shù)凹凸性法）結合條件中遞推數(shù)列的性質，有效地聯(lián)想起函數(shù)的凹凸性，并借助函數(shù)性質，合理構造特殊數(shù)列an=n2，利用函數(shù)的基本性質以及數(shù)列的遞推關系式來逐項分析與判斷.

解析2：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），可得anan-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

聯(lián)想函數(shù)的凹凸性，可設an=n2，其滿足以上條件，那么

（1）a5-（4a2-3a1）=52-（4×22-3×12）=12＞0，則選項A錯誤；

（2）（a2+a7）-（a3+a6）=（22+72）-（32+62）=8＞0，則選項B錯誤；

（3）3（a7-a6）-（a6-a3）=3×（72-62）-（62-32）=12＞0，則選項C正確；

（4）（a2+a3）-（a6+a7）=（22+32）-（62+72）=-72＜0，則選項D錯誤；

故選擇答案：C.

點評：解析1從不等式的基本性質入手，結合數(shù)列的遞推關系式加以合理轉化與應用，只是選項D無法借助不等式的基本性質來推理與分析；解析2從函數(shù)的凹凸性入手，構造特殊數(shù)列，通過特殊化思維來處理，簡單易操作.

三、結論總結

通過以上問題及其相應的解析過程，進一步加以歸納總結，可得到以下兩個具有一般性的結論：

【結論1】已知數(shù)列{an}滿足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），若m-n=p-q＞0（m，n，p，q∈N*，且m＞p），

則有am-an≥ap-aq.

證明：由于2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），

可得an-an-1≤an+1-an（n∈N*，n≥2），

則知an-an-1≥an-1-an-2≥…≥a3-a2≥a2-a1.

假定m-n=p-q=s＞0，

則s∈N*，

則知am-an=（am-am-1）+（am-1-am-2）+…+（an+1-an）

≥（ap-ap-1）+（ap-1-ap-2）+…+（aq+1-aq）=ap-aq，其中共有s個括號相加，

所以am-an≥ap-aq成立.

總結：類似于函數(shù)，可定義如下：若數(shù)列{an}滿足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則稱數(shù)列{an}為下凹數(shù)列.下凹數(shù)列所具備的以上性質可以簡單歸納為：“下凹數(shù)列——下標差相同，大下標差大”.

【結論2】已知數(shù)列{an}滿足2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），若m-n=p-q＞0（m，n，p，q∈N*，且m＞p），

則有am-an≤ap-aq.

證明：由于2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），

可得an-an-1≥an+1-an（n∈N*，n≥2），

則知an-an-1≤an-1-an-2≤…≤a3-a2≤a2-a1.

假定m-n=p-q=s＞0，

則s∈N*，

則知am-an=（am-am-1）+（am-1-am-2）+…+（an+1-an）

≤（ap-ap-1）+（ap-1-ap-2）+…+（aq+1-aq）

=ap-aq，其中共有s個括號相加，

所以am-an≤ap-aq成立.

總結：類似于函數(shù)，可定義如下：若數(shù)列{an}滿足2an≥an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則稱數(shù)列{an}為上凸數(shù)列.上凸數(shù)列所具備的以上性質可以簡單歸納為：“上凸數(shù)列——下標差相同，大下標差小”.

四、問題商榷

以上問題在解析2中通過特殊數(shù)列an=n2來處理，很好地達到正確判斷的目的.而根據(jù)題目條件“2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2）”，其實還可以構造更為特殊的數(shù)列來分析與判斷.

以常數(shù)列an=1為例，其滿足題目條件（恰好取得等號），此時選項A中有a5=4a2-3a1，選項B中有a2+a7=a3+a6，選項C中有3（a7-a6）=a6-a3，選項D中有a2+a3=a6+a7，那么選項A、B、C、D均正確.

以特殊數(shù)列an=n為例，其也滿足題目條件（恰好取得等號），此時選項A中有a5=4a2-3a1，選項B中有a2+a7=a3+a6，選項C中有3（a7-a6）=a6-a3，選項D中有a2+a3＜a6+a7，那么選項A、B、C均正確.

通過以上兩個特殊數(shù)列的選擇，可知這與原問題的設置相矛盾.由此可以確定原問題的命題不夠嚴謹，建議加以適當修改.

五、完善改進

改進1：去掉題目的“等號”條件與各選項中的“等號”條件，形成嚴格的“數(shù)列單調性”，可得到以下變式：

【變式1】已知數(shù)列{an}滿足2an＜an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則（ ）.

A.a5＜4a2-3a1B.a2+a7＜a3+a6

C.3（a7-a6）＞a6-a3D.a2+a3＞a6+a7

通過這樣的改進，對應不等式中不包括等號，使得數(shù)列的單調性更明顯.具體的解析過程直接參考原問題的解析即可.

改進2：完善題目條件中的語言敘述，使得滿足條件的任意數(shù)列{an}都有選項中的一個不等式成立，可得到以下變式：

【變式2】已知數(shù)列{an}滿足2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），對于滿足條件的任意數(shù)列{an}，都有（ ）.

A.a5≤4a2-3a1B.a2+a7≤a3+a6

C.3（a7-a6）≥a6-a3D.a2+a3≥a6+a7

通過這樣的改進，使得相應的不等式對任意滿足條件的數(shù)列都成立，這樣就可以有效地避免特殊數(shù)列條件下不等式成立而影響對正確答案的判斷的情況的發(fā)生.具體的解析過程直接參考原問題的解析過程即可.

六、反思拓展

其實，對于數(shù)學試卷的命題來說，關鍵是要通過數(shù)學問題來充分考查學生對數(shù)學的基礎知識、數(shù)學思想和方法的掌握情況，借此引導學生注重對數(shù)學能力的應用.特別是在一些數(shù)學綜合問題的命制中，強調試題的層次性，并要合理調控好綜合度，不要盲目地加大綜合度.越是綜合度大、交匯性強的問題，越容易出現(xiàn)不嚴謹、不科學等方面的問題.同時對于綜合問題，強調采用“常技常法”來破解即可達到目的，而不是盲目地追求怪異方法、偏門偏科的內容，堅持多角度、多層次地考查.

在解題過程中，不能只滿足于獲得正確答案和“常技常法”，要總結解題的方法與經驗教訓，主動對已完成的思維過程進行周密且有批判性的再反思、再總結，對已形成的數(shù)學思想、方法和知識等從另一個角度以另一種方式進行再認識、再提升，進而以求得新的深入認識，或提出疑問作為新的思考起點.W