素養立意 整體把握單元教學*

☉湖南省株洲市淥口區第五中學 陽志長

學業質量水平是學科核心素養水平的綜合表現.新課程標準明確提出，“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”.不但如此，數學新課程標準界定了每個數學核心素養的內涵、價值、表現，并將每個核心素養劃分為三個水平，每個水平的表述都涉及“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達”、“交流與反思”四個方面.這為教師把握學業質量標準的整體性和階段性、統籌設計有利于學生達成學業質量目標的教學過程提供了依據和支持.但教師總體感覺核心素養“高大上”，難以在數學教育教學中“落地”.因此，探索數學學科核心素養進入課堂的方式方法具有重大的現實和實踐意義.“導數及其應用”是高中數學的重要內容，教材中“本冊導引”明確提出，“微積分的創立是數學發展中的里程碑”，抓住這一載體開展相關研究，具有方法論方面的意義和價值.結合課題研究，現以“導數及其應用”一章為例，探討如何按照所承載的核心素養教育任務立意，優化設計，整體把握單元教學的問題，以促進數學學科核心素養落地、進課堂，為一線教師提供教學方案.

一、立足概念教學，增強數學抽象意識

概念是思維的細胞，數學概念是數學思維的起點.“導數和定積分都是微積分的核心概念”，既是高中數學概念教學的難點，也是提升數學抽象核心素養的重要載體.教學時，立足導數這一核心概念，不但要考慮如何化解學習困難、達成學業質量目標，而且要考慮如何以此為載體、增強數學抽象意識，強化問題背景、建立解決“函導”問題的思維方式.

教材從“氣球膨脹率”、“高臺跳水”兩個學生熟悉的生活情境出發，抽象出平均變化率、瞬時變化率、導數的概念.“對一種生活現象的數學解釋”是教材介紹數學知識的切入角度.如何從數學的角度描述吹氣球過程中的現象“隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”？這是學生感到困難的地方，也是數學抽象的基礎，教學時，可以從以下幾個方面加強引導、優化設計.這句話涉及兩個變量：氣球體積V與氣球半徑r，還涉及這兩個變量間的關系：；“氣球的半徑增加得越來越慢”意味著“隨著氣球體積的增大，當氣體體積的增加量相同時，相應半徑的增加量越來越小”，從數學角度進行描述就是“隨著氣球體積的增大，比值=越來越小”，這個比值就是氣球的平均變化率；結合具體數據，讓學生感受氣球膨脹率大小的變化、體會平均膨脹率可以刻畫氣球半徑變化的快慢.而在切換到“高臺跳水”問題時，要讓學生嘗試“對一種生活現象的數學解釋”，其后歸納兩例的共同特征，抽象得到一般函數的平均變化率，并按照其幾何意義，形象直觀地“逼近”函數y=f（x）在x=x0處的導數，建構f′（x0）、等符號的含義.

本課例按照達成數學抽象的水平二的目標立意，從“氣球膨脹率”、“高臺跳水”的“情境與問題”入手，引導學生在參與“對一種生活現象的數學解釋”的過程中，建構數學抽象的“知識與技能”，得到導數的定義，形成導數的“思維與表達”，并在概念辨析、“交流與反思”中，生成”等符號的數學理解，構建數學抽象的思維導圖：“實際問題——數學解釋——抽象定義——辨析理解”，為學生能夠在關聯的情境中抽象出一般數學概念和規則提供樣式、積聚能量.數學抽象是具有數學基本特征的思維品質，教師在關注知識技能掌握的同時，要按照核心概念產生的背景與緣由，創新數學抽象的“情境與問題”，不斷增強學生數學抽象的意識，增長他們解決相關問題的見識.

二、突出結構分析，發展數學運算能力

“數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養”.由于知識的局限性，學生難以明晰導數和定積分運算的對象，使得相關計算容易出錯、甚至受阻.教學時，不但要考慮如何解決學生的計算問題、達成學業質量標準，而且要納入數學運算的范疇，思考如何以此為契機，發展學生數學運算能力，凸顯導數的思維價值.

根據定義求函數的導數，實際上最終歸結為求極限.在不介紹極限的情況下，教材盡量淡化這種方法的嚴格性要求及涉及的相關技巧，在用定義求出五個常用函數的導數后，直接給出常用初等函數的八個導數公式，以及導數的運算法則和復合法則.教學時，不但要理解教材的編寫意圖，而且要突出結構分析：針對學生理解導數運算法則的困難，以積函數的導數為例，設F（x）=f（x）g（x），計算時，將它表示成，按照導數定義的“逼近”直觀，得到相應的導數運算法則；同樣，針對學生理解導數復合法則的問題，引導學生自己用類似的手法，將表示成，嘗試著用導數定義的“逼近”直觀，解讀導數復合法則的結構特征.導數公式給出了初等函數的求導公式，“復雜函數”是由基本初等函數進行“運算”或“復合”得到的，通過結構性分析，引導學生認識：運用“導數公式”和“運算法則”、“復合法則”，可以解決一般函數的求導問題，從結構上明晰運算對象.

本課例按照達成數學運算水平二的目標立意，突出結構分析，運用導數定義的“逼近”直觀，幫助學生“微觀”理解公式、法則的內部結構；從一般函數的構成出發，在“中觀”層面上，引導學生把握公式、法則，明晰運算對象.數學運算是具有鮮明數學學科特征的關鍵能力，教師在關注知識技能掌握的同時，要按照數學運算“明晰對象”的特點，在后續探明定積分的運算對象中，仍然要突出結構分析的風格，按照“互逆運算”統攝知識，一以貫之，支持學生在“宏觀”上進一步明晰運算對象，明確運算方向，發展學生的數學運算能力和嚴謹求實的科學精神.

三、突破應用難點，深化數學建模主題

“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養”.導數和定積分有著實際的產生背景和廣泛應用，教學時，不但要與抽象的相關概念建立聯系、達成學業質量標準，而且要納入數學應用的體系，思考如何突破難點、深化數學建模主題，凸顯導數和定積分的應用價值.

基于“氣球膨脹率”、“高臺跳水”情境抽象出來的導數，就是瞬時速度、切線斜率的模型.教材第6頁例1“原油溫度的瞬時變化率”，第7頁例2“跳水運動曲線在特定時刻附近的變化情況”，第8頁例3“估計血管中藥物濃度的瞬時變化率”，不但具有幫助學生形象直觀地去理解導數的概念、深化“以直代曲”解決問題思想方法之功能，而且有利于描繪導數廣泛的應用前景.教學時，要按照編者意圖，落實相關教學理念.與前面幾例不同，教材在“生活中的優化問題舉例”這節，不僅提供了案例產生的背景，而且提出了相關的思考問題，以及建模、優化過程.教學時，在“連線”導數模型的建構過程中，除了要賦予問題本身的實際意義外，還要努力揭示運用導數工具解決實際問題的建模“套路”和要領.

基于“曲邊梯形的面積”、“汽車行駛的路程”情境抽象出來的定積分，與曲邊梯形的面積、汽車行駛的路程的模型息息相關.教材在第53頁例2解析后，進一步揭示了定積分與曲邊梯形面積的關系.教學時，要充分利用數據的有用信息，深化學生對定積分幾何意義的認識.而在“定積分的簡單應用”這節，教材列舉了四個例題，是定積分在幾何、物理中的應用.教學時，要重視“連線”定積分和“生活中的優化問題舉例”模型的建構過程，設計數學建模的“升級版”.一方面，賦予“被積函數”實際意義，進一步挖掘新的信息價值，建構曲邊梯形面積、變速直線運動路程、變力做功模型的意義；另一方面，變更問題背景，引導學生發現、提出問題，并在創新情境中分析、解決問題，強化學生基于現實問題進行數學抽象的意識.

本課例按照達成數學建模水平二的目標立意，充分利用導數概念建構的“情境與問題”，引導學生進入“角色”，在探索教材例題問題本質、“轉化為數學問題”的過程中，建構數學建模的“知識與技能”.特別是在“生活中的優化問題舉例”這節，重視引導學生關注問題的“思維與表達”，在與課本、與教師的深度對話中，努力揭示運用導數工具解決實際問題的建模套路和應用價值.而在“定積分的簡單應用”這節，在挖掘新的信息價值上下功夫，引導學生建構曲邊梯形面積、變速直線運動路程等方面的“情境與問題”、“知識與技能”，在“升級”數學建模的“思維與表達”中，創造性地建立數學模型，解決問題.數學建模是應用數學知識解決現實問題的思維品質和關鍵能力，教師在關注學生知識技能掌握的同時，要按照數學建模的“情境與問題”，創新設計，引導學生自我建構數學模型的實際意義，突破應用難點，深化數學建模主題學習.

四、把握知識脈絡，提升數據分析水平

“數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養”.微積分是數學發展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創造.教學時，不但要與本章各節的學習聯系起來、達成學業質量標準，而且要站在立德樹人、培養創新人才的高度立意，考量如何把握知識脈絡，落實文化引領，提升學生數據分析水平、大數據思維的問題.

教材章頭語介紹了微積分創立的意義，與處理四類科學問題的關系，以及本章的學習內容、目標和價值.教學時，要重視章節起始課教學，不但要通過案例揭示導數產生的歷史背景、現實淵源，而且要為學生基于現實情境發現、提出相關問題提供支持.在“探索與發現”、“信息技術應用”等拓展性欄目中，教材推介了“牛頓法——用導數方法求方程近似解”和“圖形技術與函數性質”等.教學時，要綜合評價相關內容的教育功能、整體布局，引導學生合理利用這些拓展性資源，讓他們在學習中體會現代文明與文化傳承的關系.教材提供了實習作業“走進微積分”，它是提升微積分在數學思想史和科學思想史上的價值的重要“作業”.教學時，可以將學生分成若干組，按照“作業”的目的、過程、思考與要求，收集材料，匯集整理，提煉觀點，形成“研究報告”，進行班級交流，讓學生進一步了解微積分研究、探索的歷史，深化課程學習，增強數學創新意識與信心.特別是在章節小結時，不但要引導學生構建知識框圖、理解相關知識，而且要充分利用整章學習數據，引導學生運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，弄清知識的來龍去脈，形成微積分創立的基本過程、思想方法和核心要素以及做數學研究的一般方法.

本課例按照達成數據分析水平二的目標立意，引導學生把教材相關拓展和章節學習資料結合起來，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，弄清導數和定積分知識的來龍去脈，獲得整章學習的意義建構.特別是把章節起始課、“實習作業”和單元小結納入教學范疇，整體規劃，引導學生運用現代信息技術手段，收集、處理數據，釋放數據能量，從中獲取更多的啟發和效益，向數據分析的更高目標靠攏.數據分析是大數據時代公民的必備品格和關鍵能力，教師在關注知識技能掌握的同時，要按照數據分析的學業要求，優化設計，整合到數學教學中去，促進學生整體把握知識脈絡，不斷提升數據分析的水平.

“數學學科核心素養既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體”.按照章節所承載的核心素養教育任務立意，整體把握單元教學，不是對每一節課或每一個知識點進行設計，而是把這個單元內容前后照應進行優化設計，在關注知識技能的同時，按照相應核心素養的發展水平，落實到具體的、能夠揭示數學本質和體悟數學思想的過程中，進課堂、相互交融，螺旋上升地構建和發展學生的數學學科核心素養.