如何培養(yǎng)高中生的發(fā)散性思維和聚合性思維

☉江蘇省泰興中學(xué) 李建新

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平必須著眼于學(xué)生思維水平的提升，因此，教師在數(shù)學(xué)這場思維盛宴的教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)思維方法的掌握，使學(xué)生能夠在靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法的同時(shí)獲得發(fā)散性思維與聚合性思維的鍛煉與發(fā)展.對于教師來說，開啟學(xué)生的創(chuàng)造之門是教師不可推卸的職責(zé)，不斷提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)才能為民族振興打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

一、兩種思維的特性

發(fā)散性思維和聚合性思維是人的思想源頭逐漸分成的兩大支流，這兩大支流縱橫交錯并最終衍生出層級眾多的各種思維方法.

又被稱為求異、擴(kuò)散思維的發(fā)散性思維是一種從不同角度進(jìn)行各種設(shè)想的思想活動.又被稱為求同思維、集中思維的聚合性思維是對同一事物進(jìn)行各種猜想并令問題最終獲得全面解決的思想活動.從這兩種思維的定義不難看出，思維者在解決問題時(shí)需將用于解決問題的相關(guān)內(nèi)容聚集、重組并最終獲得全面的答案.這一思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)解題時(shí)同樣能夠起到很好的作用，教師在解題教學(xué)中，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的讀題并將原題中有用的信息進(jìn)行搜集、篩選、翻譯和重組，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動頭腦中已有的知識和方法對題中的信息進(jìn)行對照，以及第二次篩選、翻譯和重組，使題中信息與已有知識、方法得以融合并進(jìn)行新的構(gòu)建，這是解題思路的形成，解題思路形成過程中的信息搜集、調(diào)動和篩選正是聚合性思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用表現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用到的“歸納”；解題思路形成過程中的翻譯、重組正是發(fā)散性思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用表現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中經(jīng)常將其稱為演繹或模擬.拉普拉斯曾經(jīng)說過的“歸納與模擬是發(fā)現(xiàn)真理的主要工具”一言可以說是一語道破玄機(jī)了.

相互關(guān)聯(lián)的發(fā)散性思維和聚合性思維的產(chǎn)生并沒有先后之分，兩種思維在性質(zhì)上也沒有高低之分，同時(shí)產(chǎn)生、相輔相成的兩種思維并不是獨(dú)立存在的，發(fā)散性思維的拓展和延伸必須要建立在聚合性思維這一基礎(chǔ)之上，聚合性思維所特有的凝聚作用能使發(fā)散性思維更具有同一性.值得注意的是，兩種思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用必須恰當(dāng)且合理才能將問題更加圓滿地解決.

二、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和聚合性思維的策略

很多精通數(shù)學(xué)的人在復(fù)雜、高深問題的解決上往往會從簡單、淺顯的方向進(jìn)行思考并最終獲得簡單而淺顯的解題方法，事實(shí)上，很多難題的解決方法都相對簡潔且令人驚嘆，不過思考、探索這些難題的解決過程往往是很有難度與深度的.教師在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和聚合性思維的過程中所進(jìn)行的思考與設(shè)計(jì)也是值得深思的，即便其中所運(yùn)用到的方案簡單、平凡而瑣碎，但為這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)所進(jìn)行的思考與方案的設(shè)計(jì)卻極具深度且用心良苦.

首先，對這兩種思維的培養(yǎng)不可能運(yùn)用強(qiáng)行灌輸?shù)姆绞剑處煈?yīng)有意識地在教學(xué)活動中進(jìn)行這兩種思維的滲透，知識的發(fā)生過程、問題的解決過程、新知識的感悟過程、舊知識的溫習(xí)回顧過程等各個環(huán)節(jié)都值得有效利用.不僅如此，教師在課堂教學(xué)之余，還應(yīng)重視學(xué)生課外生活中這兩種思維意識的養(yǎng)成，讓學(xué)生能夠不時(shí)感受到這兩種思維結(jié)合的存在及其價(jià)值.

例如，以下這道高中數(shù)學(xué)組合題就是滲透發(fā)散性思維和聚合性思維教學(xué)的一道好題.

題目某廠家倉庫有液晶電視機(jī)6臺、數(shù)字電視機(jī)5臺，廠家決定在其中任選5臺送給某養(yǎng)老院，要求5臺電視機(jī)中至少有液晶電視機(jī)和數(shù)字電視機(jī)各2臺，共有幾種不同的取法？

錯解：很多學(xué)生在選取液晶電視機(jī)和數(shù)字電視機(jī)的臺數(shù)上進(jìn)行了分類，最終得出了選2臺液晶電視機(jī)和3臺數(shù)字電視機(jī)、選3臺液晶電視機(jī)和2臺數(shù)字電視機(jī)這兩種方法.這種錯誤是因?yàn)閷W(xué)生只是對完成任務(wù)的兩類辦法進(jìn)行了理解，對每類辦法中的不同取法并沒有做到真正的認(rèn)識與理解.

正解：根據(jù)題意的分析可知，根據(jù)第一類辦法進(jìn)行電視機(jī)的選取可以分成以下兩個步驟進(jìn)行：（1）在液晶電視機(jī)中任意選取2臺有種方法；（2）在數(shù)字電視機(jī)中任意選取3臺有種方法，由乘法原理可知，共有種方法.同理，根據(jù)第二類辦法進(jìn)行電視機(jī)的選取共有種方法.因此，要完成本次電視機(jī)的選取，一共有=350（種）方法.

筆者在此題的解題教學(xué)中始終沒有進(jìn)行直接講解，為學(xué)生提供最初的解題方向后就引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主思考，當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題思考中的思路有所轉(zhuǎn)折或斷裂時(shí)及時(shí)進(jìn)行了點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生在各種不同的角度下進(jìn)行新的思考并及時(shí)發(fā)現(xiàn)新的解法，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜問題進(jìn)行簡單化的思考和處理并變抽象為直觀，使學(xué)生的思維在多角度的思考方式中獲得最大限度的提升.很多學(xué)生因?yàn)樗季S的發(fā)散而獲得了多樣化的思考與解決方法，整體思想、排列組合等多種知識在解題中得到了應(yīng)用與相互轉(zhuǎn)化，知識和步驟的整合也將聚合思維的應(yīng)用過程體現(xiàn)得淋漓盡致.

由此可見，思維方法的成功滲透離不開授課方式的改變，教師應(yīng)將教師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)授課方式進(jìn)行改變，并對學(xué)生的自主思考進(jìn)行啟發(fā)，使學(xué)生能夠在解題的思考中獲得更加充裕的自主思考的空間與時(shí)間，并因此獲得思維的發(fā)展.當(dāng)然，滲透思維養(yǎng)成的方式并不單一，組織學(xué)生講數(shù)學(xué)故事、玩數(shù)學(xué)益智游戲等都是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)與滲透的好方法，除此以外，教師還可以有針對性地進(jìn)行專門性的強(qiáng)化訓(xùn)練.比如，教師在解題教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解的思考，引導(dǎo)學(xué)生自己編題并進(jìn)行自主解決，使學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)問題的思考與聯(lián)想中獲得思維意識與能力的養(yǎng)成.同時(shí)，教師還可以精心選擇一些題干長、條件多的題目供學(xué)生練習(xí)并使學(xué)生的聚合性思維得到鍛煉，不僅如此，學(xué)生聚合性思維的鍛煉與養(yǎng)成還可以在信息的提取這一專門性的訓(xùn)練中實(shí)現(xiàn)，教師可以從題目信息的提取、課堂教學(xué)內(nèi)容的歸納、題目類型的總結(jié)、解題規(guī)律的提煉等多方面對學(xué)生聚合性思維的養(yǎng)成進(jìn)行專門性的訓(xùn)練.

三、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和聚合性思維的再思考

第一，教師在實(shí)際教學(xué)中始終不能忘記“工夫在詩外”的道理，一定要引導(dǎo)學(xué)生對思維的奧妙進(jìn)行理解并充分認(rèn)識到發(fā)散性思維和聚合性思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要價(jià)值，使學(xué)生養(yǎng)成勤于思考的習(xí)慣，并因此將這種理性思維精神內(nèi)化成自己的行為方式、生活方式和生命特質(zhì)，這種超越數(shù)學(xué)解題的思維將使學(xué)生受益終身.

第二，教師始終不能忘記學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，并由此進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、語言、解題方法等多方面對問題展開多角度的探討，在解題思路的探究與拓展中，應(yīng)盡量將學(xué)生眾所周知的方法進(jìn)行重點(diǎn)介紹，使學(xué)生能夠在觀察、嘗試、手腦并用中對問題展開多方面的探討并因此獲得切身的感受，使學(xué)生能夠在有意義的啟發(fā)中展開聯(lián)想并獲得更加深刻的思考.

第三，教師在實(shí)際教學(xué)中始終不能忽略的還有學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)興趣的有效激發(fā)才能保障學(xué)生發(fā)散性思維和聚合性思維的更好發(fā)展，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)想方設(shè)法地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，根據(jù)學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)與認(rèn)知水平進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)場景的變換和設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠在一定的認(rèn)知基礎(chǔ)上不斷對新知識的學(xué)習(xí)保持良好的興趣及情緒.不僅如此，設(shè)置懸念也是激發(fā)和保持學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的好辦法，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷產(chǎn)生疑問并進(jìn)行積極的思考和探索，這也是幫助學(xué)生保持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的好辦法.

第四，數(shù)學(xué)與語言類學(xué)科的最大區(qū)別在于不崇尚口舌之巧，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)不斷幫助學(xué)生學(xué)會靜心學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠真正潛心于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中并因此獲得深刻的思考與感悟，這對于學(xué)生的思維發(fā)展來說是極有意義的.W