引導學生在探求數學原理和解題過程中提升素養
——兩種計數原理觀摩課

☉江蘇省金湖中學 陳萬斌

《數學課程標準》提出：數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養，發展學生的核心素養是數學教育的重要任務，是培養現代公民不可缺少的要素.數學抽象、數學推理、數學建模是數學學科核心素養中重要的三個方面，而這三個方面又是數學基本思想的升華.數學基本思想是學生將知識轉變為能力的橋梁，獲取的渠道主要在課堂，所以滲透核心素養的主要途徑還是課堂教學.

教師在平時的課堂教學中如果注重課堂設計、關注數學思想，使學生切實掌握數學思想，不僅能讓學生學到知識、方法、思想，還能讓學生領會數“理”，更能讓學生感悟、滲透數學素養.因此筆者在教學中非常重視引導學生尋求數“理”，下面是筆者在江蘇省鄭梁梅中學開設的一節觀摩課，在此展現給大家.

一、教學目標

（1）讓學生掌握分類加法計數原理、分步乘法計數原理.

（2）正確地理解“完成一件事”的含義，能抓住問題的特征，正確地選擇“分類”或“分步”.

（3）利用兩個原理解決一些簡單的實際問題，滲透數學學科核心素養.

二、教學重難點

教學重點：抓住特征，厘清“分類”和“分步”.

教學難點：合理進行分類或分步，利用計數原理解決問題.

三、教學過程

（一）情境引入

師：早有所聞，江蘇省鄭梁梅中學的學生聰明好學，今天有了一次體驗做“鄭中”教師的機會.但險些失去這次機會，金湖到漣水路途較遠且客車一天上午僅有三個班次：7：00、8：00、10：00.

師：我乘客車從金湖到漣水有幾種方法？

生：有3種方法.

師：我當時坐在車上，浮想聯翩，得到以下兩點感受.

感受一：（思考到達漣水的其他走法）

師：在江蘇省淮安市內，就交通而言，漣水與其他縣有何區別？

生：漣水縣有飛機場.

師：真羨慕漣水人，有飛機場.

師：倘若從金湖到漣水有飛機航班（我就能很快趕到漣水）.

師寫在黑板上：

乘客車：金湖到漣水有三班.

乘飛機：金湖到漣水有兩班.

師：這樣從金湖到漣水就有幾種走法？

生：3＋2＝5（種）.

師：為什么是3＋2，不是3×2？

生：每一類中的每一種方法都能“獨立地”“完成這件事”.

師：金湖有“湖”，漣水有“水”，不妨設還有水路可以到達.

即乘船：金湖到漣水有四班，則金湖到漣水有幾種走法？

生：共有3＋2＋4＝9（種）.

師：你能聯想到什么？從數學角度抽象概括出一般性結論.

生：獨立地完成一件事共有k類方法，每一類分別為mi種方法（i=1，2，…，k），則完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法.

師：數學家為了加深記憶，形象地稱之為“加法”原理.

師邊說邊寫：加法原理方法數為m1+m2+…+mk（分類）.

感受二：（可以經過中轉站而分步到達）

師：我當時還有一個想法，我們都屬于淮安市，各縣城與淮安市汽車總站每天通車次數很多，我可以怎么來？

生：如果金湖到淮安總站一天4班，淮安總站到漣水一天6班，則共有4×6＝24（種）走法.

小組討論.

師：兩種線路時間上要“協調”起來.（課后思考）

師：你能從中類比得到什么結論？

生展示并回答：通過類比加法原理知道，如完成這件事，需要k個步驟，每一步都有mi（i=1，2，…，k）種方法，且每一步缺一不可，則共有m1×m2×…×mk種方法.

師：你們看叫什么原理好呢？區別在哪兒？

生：這叫乘法原理，如果采用“分類”完成這件事，就用加法原理；如果采用“分步”完成這件事，就用“乘法”原理.

（二）探求新知

師：這就是今天所講的兩個計數原理，讓學生打開課本瀏覽書中的兩個計數原理的敘述.你們有什么啟發？

生：（1）理解“完成這件事”的具體含義；完成這件事要分清是分類還是分步；分類用加法原理，分步用乘法原理；（2）數學知識來源于實際生活，我們學會了抽象概括；數學又高于生活，數學也是活生生的，與我們的生活息息相關.

師：按照這兩種想法，我到漣水可以有幾種方法？你能想到什么？

生：共有3＋2＋4＋4×6＝33（種）.

師：有何啟發？為什么呢？

生：先分類后分步；考慮問題一般先從大局考慮，即先分類.

師：如何區別“分類”和“分步”呢？

生：從中提煉出“完成這件事”的真正含義，“這件事”是分類完成還是分步完成，“分類”或“分步”是由“完成這件事”所決定的.

師：你們能舉例說明“分類”和“分步”的區別嗎？

學生討論、代表展示；教師進行評論、點撥、鼓勵.

（三）學以致用

問題1：3本不同的語文書，4本不同的數學書，2本不同的英語書，從中任取1本書，你有多少種選法？

生：3+4+2=9（種）.

師：為什么相加呢？

生：完成“選1本書”這件事，分三類書種，因而采用加法原理.

變題1：從中任選2本不同學科的書，有多少種選法？

生：先分三類，即：（1）選擇語文、數學書各1本，（2）選擇語文、英語書各1本，（3）選擇數學、英語書各1本.而每一類再采用分步完成，故選法總數=3×4+3×2+4×2=26（種）.

師：你有何啟發？

生：解決問題應考慮“先分類再分步”的思路.

變題2：從中選3本含語、數、英學科的書，有多少種選法？

生：3×4×2=24（種），“完成這件事”是采用“分步”解決的，因而采用乘法原理.

師：抓住題意的特征和含義，進行分類或分步.

（四）鞏固提高

（1）例題探求.

例題1：從0、1、2、3、4中取三個不同的數字能組成多少個三位數？

教師引導學生畫框圖.

生：完成這件事分三步，先在百位上填數，之后在十位上填數，最后在個位上填數，共有4×4×3=48（個）.

師：本題的解決對我們有何啟發？

生：畫框圖比較直觀明朗，容易理解.

師補充：要求學生有建模能力.

模型化能力：（畫框圖）培養學生的直觀想象素養.

例題2：4名同學參加語、數、外三項不同的比賽，每位學生必須參加且只能參加一項比賽，有多少種不同的方案？

生：這件事就是“共4名同學，每名同學選擇一項比賽”，4名同學都選定比賽科目后就算是“完成”事情，所以需要分四步完成，即有3×3×3×3=34（種）.

（2）重溫例題.

回到例題1.

師：你們有其他解題方法嗎？

生展示：先不管百位上不能安排“0”這一特殊情況，即總體考慮，然后把不滿足要求的情形去掉.即有5×4×3-4×3=48（個）.

師：有何啟發？

生：這叫逆推法，也叫排除法、去雜法.

師補充：需要學生有反推、倒推的邏輯思維能力.

邏輯化能力：培養學生的邏輯推理素養.

回到例題2：把4封不同的信放入3個不同的郵箱，有幾種不同方案？

生：4+4+4=12（種）.

師：其他同學的答案也是12種嗎？

小組思考.

生：應該與4名學生選擇3種比賽題意的本質一樣，就是“把每一封信投入信箱”就算完成任務，應該是“分步”完成這件事，采用乘法原理，即3×3×3×3=34（種）.

師：實際生活中，郵寄4封信你是這樣處理的嗎？有何啟發？

生：不是這樣處理的.讀懂題意，分四步完成這件事，即把每一封信逐一投完，事情就算完成.

師：要從習題的表面讀出題中隱含的數學層面的意思，即能從實際問題抽象概括出數學問題，讓實際問題呈現“數學味”，即對問題進行“數學”形式的“抽象”和等價轉化.

數學化能力：對實際問題進行數學轉化，培養學生的數學抽象素養.

變題1：4名同學參加語、數、外三科不同的比賽，每科競賽只允許一名學生參加，有多少種不同方案？

生：應該是“分步”完成事情，采用乘法原理，即3×3×3×3=34（種）.

師：有沒有不同意見？

生：應該是4×4×4=43（種），本質差不多，方法為化歸法.

師：抓住問題的“主語”為“科目”，理解“完成這件事”的含義是語、數、外三個科目分別被“選定”.

師：思考用計數原理解決問題的步驟？

師生共同總結：用計數原理解決問題分四個步驟，即：讀題抓特征、分類后分步、建模再計算、結果要檢驗.

感悟提升：教會學生知識、方法及解題思想是教好學生最基本的要求，從現代的人才需求和學生終身發展要求來看，必須培養學生的數學學科核心素養，學生只有具備較高的數學學科核心素養，才能站得更高，看得更遠，掌握更牢，學得更透，才能適應其一生的發展需要.核心素養的提高不是空泛的，要落實到具體的數學教學過程之中，那么，如何在課堂中加強對學生數學學科核心素養的培養呢？筆者認為：一是在知識的展現過程中，滲透數學思想，提高核心素養.因此學生應該有足夠的時間去經歷數學知識的發生、發展過程.二是在知識的抽象過程中，滲透數學思想，提高核心素養.數學家華羅庚曾強調：既能把薄的書讀成厚的，又能把厚的書讀成薄的.讀薄就是通過抽象抓住本質，抓住重點，因為只有抓住本質才能更好的理解和提升數學學科核心素養.三是在解題思路的探索過程中，滲透數學思想，提高核心素養.學生是數學學習的主人.在學習過程中，要引導學生認真觀察，獨立思考，合作交流；要引導學生親自去發現問題，解決問題，掌握方法.四是在解決實際問題的過程中，滲透數學思想，提高核心素養.問題是數學的心臟，學生通過解決實際問題可以鞏固學到的數學知識，可以在解題的過程中培養和發展學生的數學能力、領悟數學思想、滲透數學學科核心素養.W