“數學建模”在高中數學解題中的應用

☉福建省廈門市大同中學 林玉花

高中數學具有極強的針對性，除了要對數學定理和公式進行理解掌握，還要對學生的數學思維進行培養，以形成嚴密的思維模式，以便學生在今后的學習過程中能獨立地解決數學問題.隨著新課改的推進，在設置高中數學教學時，越發重視學生的自主學習能力和創新能力.而要滿足這樣的培養目標，就需要轉變學生的數學學習觀念.教師為了實現這樣的目標，也在不斷地探索新的教學模式——“數學建模”.利用這種教學模式對學生的數學思維進行訓練，可以刺激他們自主探索解題方法，引導他們將知識與生活進行聯系，從而不斷發展他們的創新思維能力.［1］

一、“數學建模”在解題中的重要性

對于“數學建模”學生雖有所了解，但缺乏更深層次的理解.而事實上，數學建模對高中數學的學習來說有著不可忽視的重要意義.

1.借助建模思維準確審題

高中和初中相比，在數學學習上更需要借用建模思維來求解實際問題，這也凸顯出從初中到高中的跨越，這種跨越在數學上所表現出的是在廣度和深度上的質的飛躍.在高中階段，很多數學問題都含有諸多的已知條件、干擾條件和隱藏條件，這就需要學生通過分析進行辨別，從而完成解答.

例如，已知f（x）是一個偶函數，其定義域為［-1，1］，現有一函數g（x），其圖像與f（x）的圖像關于x=1對稱，且當x∈［2，3］時，g（x）的表達式為g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3（a為實數），請寫出f（x）的函數表達式.

分析題意可知，這道題包含了多個數學模型，要想求解這道題，首先要抓住各模型之間的聯系，而已知條件中的偶函數可以作為問題的切入點.首先觀察g（x）的表達式，在坐標系中繪制出函數在x∈［2，3］時的大致圖像，然后根據g（x）的式子假設兩個公式，通過消元的方式對f（x）的表達式進行求解.

2.借助建模思維化繁為簡

對于一些復雜的題目，可通過建模進行簡化.高中數學難度相比于初中數學具有較大幅度的提升，因此也呈現出難度系數大、準確度低、耗費時間長的特點.通過建模，能將繁雜的題目內容轉化為簡單的參數變量關系，更方便學生進行運用.［2］

例如，證明cos2x+cos（2x+y）-2cosxcosycos（x+y）=sin2y這個等式.分析題目可知，這個等式包含了多種三角函數，而且還有平方關系.對于這類題目，一般的思路是利用轉換公式對二次項進行降冪，這也是進行后續運算的關鍵.所以在求解時，可利用轉化公式，用代替cos2x等，這就從降冪的角度對問題進行了轉化，也凸顯出了數學模型的建立對求解問題的幫助.

3.借助建模思維快速求解

由于數學問題的復雜性，很多高中生絞盡腦汁地運算，卻得到錯誤的結果，可見其在方法的選擇上出現了問題.而利用數學建模，不僅能找到各對象之間的關聯，還能對答案進行檢驗，在求解出結果后進行快速驗算來判斷結果的正確性，這也凸顯了數學建模的優勢和意義.

二、培養高中生數學建模意識的方法

不管用哪種方法教學，始終離不開教材這一參考依據，并且很多數學模型也都來源于此.因此教師要做的就是巧妙利用課本資源進行建模思維的教學.為此在實際教學過程中應該貫穿建模思想，通過引導學生關注知識和模型的聯系來對他們的發散思維進行訓練.

1.在新授課中融入實際問題

例如，對于數列的學習，可以利用彩票和貸款這類生活中的事物，幫助學生建立知識與生活的聯系，從而領會數列在實際問題中的模型應用.又如，對于立體幾何知識的學習，可通過將立體圖形模型化來進行教學，讓學生理解正方體實際上是特殊的長方體.有了這層認識，學生自會明白與正方體相關的問題，首先需要滿足長方體的基本條件.這樣一來，就可以讓學生明白解題模型對問題求解的重要意義.［3］

2.在數學解題中融入模型思想

將模型思想融入到問題求解中，有利于學生通過實踐對其內涵進行感悟，從而培養學生建模求解的良好習慣.除了新課教學時的建模思想的貫穿，還可以借助復習來進行建模能力的訓練.在學完一個專題的內容后，可專門設置復習課，圍繞相關的關鍵問題進行交流討論，并讓學生對這部分內容所用到的數學模型進行總結.

例如，可結合實際問題的求解過程幫助學生總結并提煉出“圖像解題”的方法，然后由此引申出去，對能用這類方法進行求解的問題進行歸納.如對二元不等式相關問題的求解，就可以結合函數圖像來幫助理解，進而在此基礎上進行求解.而對于幾何問題來說，不管是平面幾何還是立體幾何，由于其本身就是圖形，所以自然是一個會大量使用圖像解題的類型.不僅如此，由于函數也有各自對應的圖像，因此在求解函數問題時，也少不了要運用圖像思維來求解，所以就需要學生重點掌握函數的基本圖像性質.

三、數學建模在數學解題中的應用策略

建模方法除了對高中數學學習有幫助，還能應用于實際問題的求解中，方便他們提高解答速度和準確性，進而在考試中提高做題效率，實現成績的穩步增長.

1.借助數學建模進行參數轉換

運用建模思想解題時，常用的一種方法是轉換參數.以函數知識為例，其公式和圖像可以相互轉化，可見數學知識具有相通性.為此，在解決復雜的函數問題時，可將其進行轉化，然后以圖形的思路進行求解，將自變量和因變量對應關系展現在圖形中.而對于幾何問題的求解，亦可借助直角坐標系對其長度、角度等進行量化，以便完成求解.

2.借助數學建模進行參數定義

求解概率和數列方面的問題時，一般會用整體減部分來代替部分的思路進行建模，這就是數學中的整體思想，通過轉化概念實現簡化題目，從而在思維的轉換中進行求解.［4］對此也可由實例進行說明：同學們在玩拋硬幣的游戲，而在概率學中我們已知，得到正反面的概率均為50%，請問如果拋十次硬幣的話，十次的結果中至少有一次為正面的概念有多大？分析題目后可知，可將問題進行轉化——在拋十次的結果中，先計算十次均拋出反面的概率，然后用1減去它就能得到結果.因此，先求出二分之一的十次方，再用1去減它，就計算出了至少有一次為正面的概率.

3.借助數學建模找出隱藏條件

單從題目來分析，高中與初中的不同之處在于高中數學題目中有很多的隱藏條件，而對隱藏條件的處理，可能會直接提出用x，m等未知數來表示，也可以不指明.而往往在遇到有隱藏條件的問題時，學生會無從下手.利用建模思想，有助于正確使用公式，在抓住不同對象的聯系的基礎上，實現對隱藏條件的求解，進而提升求解速度.

不管隱藏條件是怎樣的，始終都不會改變數學公式的真理.因此只要模型正確，就能保證選用的公式和定理是正確的，進而找到正確的隱藏條件.例如，有這樣一個題目：奇函數f（x）的定義域為［-2，2］，已知g（x）的函數圖像過點（6，5），且和f（x）關于x=1對稱，則g（x）的值域為多少？從題目中的奇函數可知，f（0）=0，找出了這一隱藏條件，再求得g（x）的對稱點，就有了求g（x）的兩個條件，從而實現對問題的求解.

總之，對于高中數學知識的學習和數學問題的求解，建模方法的作用效果是非常明顯的.通過在教學、求解等環節融入數學建模思想，不僅有助于學生更快地完成求解，而且能有效提高解題的正確率，而這類應用在高中階段的數學學習中是非常廣泛的.由此也可得出，只要正確地將建模方法用到教學實踐中，就可讓學生在不斷的思維訓練和能力發展的基礎上取得良好的數學成績.