高考數學創新試題的幾種類型及評析*

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 劉成龍

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 胡 琳

數學是培養創新能力的重要途徑.數學是研究數量關系和空間形式的學科，是思維的學科，對于培養人的思辨能力、科學精神等方面有著重要的作用，而思辨能力和科學精神正是發展學生創造力的必備要素.數學中充滿了創造，整個數學史就是一部創造史，可以說，沒有創造就沒有數學．［1］因此，數學對于培養人的理性思維和創新能力具有巨大的作用，正如《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下文簡稱《課程標準》）所說“要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面不可替代的作用.”［1］

數學教育與創新意識密切相關.《課程標準》把“創新意識”確定為數學教學的十大核心概念之一，強調“創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終.”［2］《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《標準》）指出：“數學教育承載著培養學生創新意識的任務，要促進學生的實踐能力和創新意識的發展.”［3］創新意識表現為：對新穎的信息、情境和設問，能選擇有效的方法和手段分析、處理信息，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題.［4］

創新作為第一動力，高考命題也應體現這一導向.［5］高校要選拔具有創新潛質的人才，高考數學就必須重視對學生創新意識的考查.［5］創新成為了歷年高考中新的熱點和亮點.高考命題中創新體現在四個方面：試題題型創新、試題內容創新、命題理念創新和問題解答方法創新.［5］由此，高考創新型試題成為評價學生創新能力的重要題型.所謂高考創新型試題，是指從衡量考生的發展性學力和創造性學力著手突出能力考查的試題.［6］本文重點評析了近幾年高考創新型試題的四大類型：立德樹人型、趣味邏輯型、公式證明型、問題推廣型.

一、立德樹人型

立德樹人，簡而言之，即建立德行，為后人樹立榜樣，培養人才.黨的十九大報告明確提出“落實立德樹人根本任務.”在教育部制定的落實立德樹人根本任務的配套文件《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中指出：“全面貫徹黨的教育方針，堅持立德樹人，加強社會主義核心價值體系教育，完善中華優秀傳統文化教育，形成愛學習、愛勞動、愛祖國活動的有效形式和長效機制，增強學生的社會責任感、創新精神和實踐能力.”［1］數學教育應該發揮“數學教學具有的德育功能”.［6］通過德育滲透，培養人，塑造人.近幾年的高考命題堅持立德樹人的基本導向，命制了一系列立德樹人型試題，意在通過德育滲透，培養學生良好的道德品行，可謂是高考命題中的獨特創新.

例1（2018年全國Ⅱ卷理科第8題）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（ ）.

評析：本例以哥德巴赫猜想為載體，既凸顯了我國在哥德巴赫猜想研究上的領先地位，也對普及數學家陳景潤積極研究世界性難題并取得了巨大成就的故事有積極的意義.同時也對育人有益：一方面，可以弘揚中華優秀文化，增強文化自信；另一方面，可以培養學生的愛國主義情懷，增強學生的社會責任感，引導學生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀.本例借助數學文化，增強文化浸潤，體現育人導向，育人于無聲無息之中.

二、趣味邏輯型

《現代漢語詞典》對邏輯的解釋是思維的規律.《辭海》對邏輯的解釋是研究思維形式及其規律的科學.因此邏輯是創造的起點.趣味邏輯型試題是指含有有趣情境、考查學生邏輯知識的試題.趣味邏輯型試題為考生營造出一種輕松的氛圍，給人的印象是推理有趣、推理好玩，推理過程中思維量較大，思維品質要求較高，但幾乎不需要算，趣味邏輯型試題涉及的推理一般具有趣味性、邏輯性、思考性、挑戰性和智慧性.［7］此類試題主要考查學生的閱讀能力、抽象能力和推理能力：閱讀提取有用信息—抽象成圖表或條件推理關系—推理得到結論.解答趣味邏輯型試題的常見方法有：代入法、假設法、排除法、找突破口法、圖表法等.試題所涉及的常見題型有：真假型、排序型、匹配型等.趣味邏輯型試題是高考數學命題的一種創新，既為考生緊張的狀態開辟了休憩的驛站，也拓寬了考生的視野，還讓考生真切地感受到邏輯就在身邊，邏輯離我們的生活是那么近.

例2 （2017年全國Ⅱ卷理科第7題）甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有兩位優秀，兩位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上信息，則（ ）.

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

評析：本例為趣味邏輯型試題的經典案例：以學生詢問成績為素材，展示的情景貼近生活實際，與兒時的腦筋急轉彎問題有較大的相似之處，呈現出一定的趣味性和推理性，這在一定程度上使考生緊張的情緒得到放松，體現了命題者對考生的人文關懷.同時，老師和學生的對話看似平淡，實則蘊含思辨性和邏輯性，對學生的邏輯思維與推理能力等都有所考查.

三、公式證明型

公式證明型試題是指直接將教材中的公式證明設置為高考試題.該類試題是命題形式上的一大創新，旨在引導高中數學教學回歸教材、重視教材.近20年以來，在2010年四川卷首次開發公式證明型試題，當然開發的過程中也經受了勇氣和信心的考驗.據四川命題組消息稱，在2010年四川卷命制公式證明型試題時引發了命題者們的激烈爭論：絕大部分命題者認為命制公式證明型試題是命題創新，值得提倡；部分命題者認為此類題型從未考過（近20年未考過），不利于高考命題的穩定，經過激烈的辯論，最后還是決定選用公式證明型試題，但略有變化的是設置為兩個小問：第一問證明公式，第二問設置為公式的應用.我們揣測，這樣的設置是對該題型的一種試探與嘗試.實踐表明，公式證明型試題是一種成功的創新型試題，值得堅持，這從2011年高考陜西卷文理科第18題考“敘述并證明余弦定理”、2012年高考陜西卷理科第18題考“三垂線定理及逆定理的證明”、2013年高考陜西卷理科第18題考“等比數列前n項和公式的推導”可以得到印證.

例3（2010年四川卷理科第19題）（Ⅰ）①證明兩角和的余弦公式C（α+β）∶cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C（α+β）推導兩角和的正弦公式S（α+β）∶sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

評析：本例要求證明教材中的兩角和的正余弦公式，屬于命題形式上的創新.這打破了一直以來不考書上命題、公式、法則等證明的命題模式.實際上，試題本身并不難，但這一“首發效應”使得許多考生都手足無措，據閱卷場反饋的信息來看，2010年四川近50萬考生僅有大概70人得了滿分，這讓我們深刻反思教學中對教材的忽視，無疑對死記硬背、機械模仿的學習方式敲響了警鐘.對改變教學活動重心，引導教學回歸教材，關注知識的形成過程、發展過程、理解與內化過程有導向作用.從教學導向這一層面可以充分看出開發公式證明型試題的價值所在.

四、問題推廣型

數學推廣是指在一定范圍內或一定層次上對數學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對條件、結論進行結構分析以后，對其進行適當改變，使得到的新命題為真.［8］張景中院士指出：“推廣是數學研究中極其重要的手段之一，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣.數學家總是在已有知識的基礎上，向未知的領域擴展，從實際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題.”［9］問題推廣型試題是指將已有問題的條件或結論推廣到更一般的情形的試題.從定義上看，問題推廣型試題顯然是一種典型的創新型試題.創新體現在兩個方面：一是在試題設置上打破了傳統解答（或證明）已知問題的模式，二是推廣的過程就是創新的過程.命題推廣型試題有利于培養學生的問題意識，這對學生認識問題的本質有益，對培養學生完善的認知結構有利.同時也有利于學生體會數學研究的一般思路：研究特殊問題→提出一般問題→解決新問題.

例4 （2012年湖北卷理科第22題）（Ⅰ）已知函數f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r為有理數，且0

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結果證明如下命題：設a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數.若b1+b2=1，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2.

（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題.注：當α為正有理數時，有求導公式（xα）′=αxα-1.

評析：本例第（Ⅲ）問打破了傳統證明已知結論的模式，需要學生先提出猜想再進行證明，這在2012年之前的高考命題和平常的模擬訓練中幾乎沒有涉及，是一類典型的結論開放型試題，呈現出高度的創新性.解答時，首先需要學生根據第（Ⅱ）問條件中變元的個數、非負性、和的特殊性及結論中變元的位置、運算的變化（冪的積到積的和），初步判斷變元個數、變元和的值對結論的影響，進而模仿已有的結論猜想出更一般的命題，這對培養學生的觀察能力和提問意識尤為重要；其次，學生需要證明猜想的正確性，在這一過程中學生往往需要將已有的特殊情形的證明方法遷移到一般的情形中，這對學生的遷移能力要求較高.總之，問題推廣型試題充滿了創造的成分.無獨有偶，2012年福建卷理科第17題要求學生將五個特殊的三角式子推廣為三角恒等式并證明.特別指出，盡管從2013年到2018年的高考命題中沒有命制問題推廣型試題，但是我們認為該題型必將成為未來高考命題創新的焦點.

創新型試題作為高考的一種重要題型，在人才選拔、立德樹人、思維發展、教學導向等方面具有積極的作用.因此，我們相信在未來的高考命題中會開發出更多類型的創新型試題.