突破概率與統(tǒng)計(jì)題的解題瓶頸的方法探討

莫德杰

摘 要：本文將從單純題目與綜合題目?jī)煞矫嫒胧郑岳}分析的方式，對(duì)突破概率與統(tǒng)計(jì)題解題瓶頸的方法進(jìn)行探討，希望可以為高中生解題提供一些幫助。

關(guān)鍵詞：概率題；統(tǒng)計(jì)題；解題方法

概率題與統(tǒng)計(jì)題一直是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高中生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。因此，作為祖國(guó)未來建設(shè)型人才，高中生必須通過實(shí)際例子，對(duì)突破解決瓶頸的方法進(jìn)行探討，總結(jié)其中的規(guī)律，只有這樣，才能提高自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，從而促進(jìn)自己更好發(fā)展。

一、單純題目解題方法

（一）概率題

例1：某人向目標(biāo)射擊4次，每一次的目標(biāo)擊中概率是1/3，而目標(biāo)共有三個(gè)不同部分，各面積比是1：3：6。在擊中目標(biāo)時(shí)，任何部分概率和其面積都是成正比。

（1）假設(shè)K是目標(biāo)被擊中次數(shù)，問K分布列。

（2）如果目標(biāo)被擊中兩次，A代表“第一部分最少被擊中1次或者是第二部分被擊中兩次”，問P（A）。

解題突破口：在對(duì)（1）進(jìn)行分析時(shí)，高中生可以將隨機(jī)變量K取為0、1、2、3、4，由于每一次的擊中結(jié)果只有兩種可能，即擊中與未擊中，所以可以知道K服從二項(xiàng)分布，之后通過相關(guān)概率公式的運(yùn)用，高中生就能夠得到結(jié)果。在對(duì)（2）進(jìn)行解答時(shí)，高中生應(yīng)該先對(duì)構(gòu)成A的事件進(jìn)行尋找，假設(shè)Ai指的是第一次擊中目標(biāo)第i部分，其中i=1，2；Bi指的是第二次擊中目標(biāo)第i部分，其中i=1，2，由此可以得出，A=A1`B1∪`A1B1∪A1B1∪A2B2，之后通過概率公式就可以得到最終結(jié)果。

解答過程：

（1）根據(jù)題意可知K-B（4，1/3），因此P（K=0）= （1/3）0（1-1/3）4=16/81，依次可得P（K=1）=32/81、P（K=2）=24/81、P（K=3）=8/81、P（K=4）=1/81。

（2）依照上述分析假設(shè)Ai與Bi，其中i=1，2，結(jié)合題意得到P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，并且A=A1`B1∪`A1B1∪A1B1∪A2B2，因此P（A）的概率應(yīng)該是0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28。

通過這一例題可知，高中生在對(duì)隨機(jī)變量分布列進(jìn)行求取時(shí)，應(yīng)該先對(duì)其取值與對(duì)應(yīng)概率進(jìn)行確定，并判斷其服不服從二次分布。同時(shí)，在求取概率時(shí)，高中生還應(yīng)該先明確概率類型，之后再通過相關(guān)公式的正確運(yùn)用來求出最終結(jié)果。

（二）統(tǒng)計(jì)題

例2：某工廠共有1000名工人，其中A類工人共250名且接受過短期訓(xùn)練，B類工人共750名且接受過長(zhǎng)期訓(xùn)練，現(xiàn)通過分層抽樣方法抽出100名工人，檢查其在一天范圍內(nèi)加工零件數(shù)量。如下：①問甲（A類工人）、乙（B類工人）均被抽到的概率；②抽查結(jié)果如下：A類工人的加工零件數(shù)量分別是[100，110）、[110，120）、[120，130）、[130，140）、[140，150），其對(duì)應(yīng)的人數(shù)是4、8、x、5、3；B類工人的加工零件數(shù)量分別是[110，120）、[120，130）、[130，140）、[140，150），其對(duì)應(yīng)的人數(shù)是6、y、36、18。

（1）求x、y，并分析A與B類工人中的個(gè)體差異程度誰最小。

（2）估算A與B類工人一天加工零件數(shù)量的平均數(shù)，并估計(jì)這一工廠工人加工零件數(shù)量的平均數(shù)。

解題突破口：高中生應(yīng)該明確分層抽樣指的就是等概率抽樣，因此甲、乙可能被抽到的概率都是1/10，所以A類工人是25名，而B類工人則是75名，之后則可以有效得出x、y數(shù)值。在解決（2）時(shí)，高中生只需要將樣本在不同區(qū)間中的平均數(shù)求出來，自然可以得到A與B類工人一天加工零件數(shù)量的平均數(shù)。

解答過程：

（1）由已知條件可知，甲、乙被抽概率都是1/10，并且兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，因此都被抽到的概率就是1/10×1/10=1/100。

（2）如下：①A類工人應(yīng)抽出25人，B類工人應(yīng)抽出75人，因此，x=5，y=15。同時(shí)，通過直方圖觀看，高中生可以發(fā)現(xiàn)B類工人差異較小；②由①求出A類工人與B類工人的平均值是123和133.8，因此，全體工人平均值就是25/100×123+75/100×133.8=131.1。

二、綜合題目解題方法

例3：在研究某一課題中，以分層抽樣方式對(duì)A、B、C三所高校工作人員進(jìn)行抽取，具體數(shù)據(jù)如下：在相關(guān)人員數(shù)量方面，A、B、C三所高校分別是18、36、54，抽取的人數(shù)則是x、2、y。

（1）問x、y數(shù)值。

（2）如果從B、C兩校中選出兩人發(fā)言，問二者均來自C校的概率。

解題突破口：分層抽樣是一種等概率抽樣，高中生應(yīng)該利用這一性質(zhì)來求出具體數(shù)值。（2）問題屬于古典概型問題，高中生可以通過列舉法的方式，來找出這一概率。

解答過程：

（1）根據(jù)個(gè)體抽到概率相等得出x/18=2/36=y/54，由此可以得出x=1，y=3。

（2）將從B校抽取的人記作B1、B2，從C校抽取的人記作C1、C2、C3，那么問題（2）可能發(fā)生的事件主要有以下十種情況，即（C1，C2）、（C1，C3）、（C2，C3）、（B1，B2）、（B1，C1）、（B1，C2）、（B1，C3）、（B2，C1）、（B2，C2）、（B2、C3），其中兩人均來自C校的事件有（C1，C2）、（C1，C3）、（C2，C3），因此，問題（2）的答案應(yīng)該是3/10。

三、結(jié)論

綜上所述，作為社會(huì)未來建設(shè)型人才，高中生只有熟練掌握與概率和統(tǒng)計(jì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如概念、公式等，并詳細(xì)分析題目已知條件，掌握解題思路與技巧，才能降低概率題與統(tǒng)計(jì)題的難度，從而有效突破解題瓶頸。

參考文獻(xiàn)

[1]孫海琴，王俊琦.2018年高考“概率與統(tǒng)計(jì)、計(jì)數(shù)原理”專題解題分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2018（18）：39-45.

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