利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值

▍成都市石室中學(xué)（文廟校區(qū)） 劉禎穎

什么是函數(shù)的奇偶性？根據(jù)相關(guān)教材，有如下定義：

如果對(duì)于函數(shù)f(x)，其定義域與原點(diǎn)對(duì)稱，并且，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有等式f (-x)=-f (x)[或f (-x)=f (x)]成立，那么函數(shù)f (x)就叫作奇函數(shù)(或偶函數(shù))。

定義揭示了奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域是對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)數(shù)集。如果定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則必不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。因此，判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先判斷它的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再判斷f (-x)與f (x)的關(guān)系。

我們注意到，在定義中，我們使用的是等式f (-x)=-f (x)[或f (-x)=f (x)]來(lái)表示函數(shù)f (x)的對(duì)稱關(guān)系。事實(shí)上，這兩個(gè)等式還有一些相應(yīng)的等價(jià)變形可供我們利用，如等等。解：（1）函數(shù)定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。

（2）f (x)是周期函數(shù)，其周期可以通過(guò)將其變形求得。

（3）事實(shí)上，在本例中，關(guān)于等式f (-x)=-f (x)的驗(yàn)證，我們還可以以如下方式進(jìn)行。

∴f (-x)=-f (x)，∴f (x)為奇函數(shù)

解：顯然，f (x)的定義域?yàn)閷?duì)稱區(qū)間。

∴f (-x)=-f (x)，為奇函數(shù)。

利用上面的這些關(guān)系，我們往往可以非常簡(jiǎn)單地確定一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的值。

例 3：已知 f (x)=ax9+bx7+cx5+dx3+ex，且f（3）=7，求f （-3）=?

解：顯然，由于f (x)中的系數(shù)a,b,c,d,e未知，且已知條件只有f (3)=7，要想通過(guò)求出a,b,c,d,e的值來(lái)求出f （-3）的值是很困難的。但注意到，f (x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且式中各項(xiàng)的次數(shù)為奇數(shù)，據(jù)此可確定f(x)為奇函數(shù)，f (-x)=-f (x)

∴ f (-3)=-f (3)=-7

∴f (-x)=-f (x)，∴f (x)為奇函數(shù)

∴ f (b)=-f (b)=-c

例5：已知f (x)為奇函數(shù)，在區(qū)間（-2，2）上單調(diào)遞減，且 f (2+a)+f (1-2a)＞0，求 a的范圍。

解： ∵ f (2+a) + f (1-2a) ＞ 0

∴ f (2+a) - f (1-2a) ＞ 0

又 ∵ f (x)為奇函數(shù)，定義在（-2，2）上單調(diào)遞減

∴ f (2+a) ＞ - f (1-2a) = f (2a-1)

∴ 2+a ＜ 2a-1 且 -2 ＜ 2+a ＜ 2，-2 ＜ 2a-1＜ 2

此組不等式無(wú)解。故不存在滿足條件的f (x)。

∵ f (x)的定義域?yàn)閤≠0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

∴ f (x)為偶函數(shù)，∴ f (-1) = f (1) =1

綜上所述，函數(shù)的奇偶性的有關(guān)表達(dá)式在碰到有關(guān)函數(shù)值的計(jì)算時(shí)，往往能夠簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，得到較好的結(jié)果。