階梯圓柱殼在軸向沖擊載荷作用下的屈曲計算分析

桂夷斐， 馬建敏

(復旦大學 航空航天系，上海 200433)

目前，應用較為廣泛的緩沖元件主要是薄壁構件，因其具有良好的吸能特性，在受到沖擊載荷的作用時，破壞形式較為穩定，主要通過自身的塑性變形吸收和耗散能量，達到緩沖保護的目的。因此在許多工程領域，不同構型的圓柱殼被廣泛使用。對用于結構防撞安全及各類塑性變形吸收裝置的圓柱殼，其在沖擊載荷作用下的動力屈曲一直是研究的熱點問題之一。

60年代以來，許多學者對軸向沖擊彈性圓柱殼的動態屈曲進行了研究，Ohira[1],Stein[2]以及Hoff[3]基于Donnell殼理論并忽略前屈曲，對于不同端部支承條件下的圓柱殼得到了很多精確解。Zimicik等[4]對徑厚比為100～160的圓柱殼受軸向脈沖載荷作用下的彈塑性動力屈曲進行了理論和實驗研究。王仁等[5]對厚殼做了大量的沖擊實驗發現了圓柱殼發生非對稱屈曲的第二臨界速度。陳永濤等[6-7]研究薄壁圓柱殼的動態屈曲模式，分析構造具有高吸能率的抗沖擊結構的方法。顧紅軍等[8-9]對薄壁圓柱殼的軸向動力屈曲進行了實驗與理論研究，了解了軸向沖擊下薄壁圓柱殼的屈曲行為。黃承義等[10]采用Lagrange方法分析了有限長薄壁圓柱殼在余弦沖擊載荷作用下的彈性脈沖動力屈曲。徐新生等[11-12]研究了半無限長彈性圓柱殼的屈曲機理,并發現軸向應力波的傳播和反射對屈曲起著重要作用。Tovstik等[13]為了得到能預測不同端部支承條件下的臨界載荷以及屈曲模態的近似表達式，采用漸進法進行了大量的屈曲分析。楊衛奇等[14]采用LS-DYNA對圓柱殼動力屈曲全過程進行了數值模擬，分析了屈曲行為及屈曲過程中的應力波效應。Karagiozova等[15-16]基于軸向沖擊產生的應力波效應，研究了圓柱殼的動態塑性屈曲及動態漸進屈曲現象，并通過實驗研究了沖擊速度和材料特性對動態屈曲響應的影響。Xu等[17]考慮軸向應力波的傳播和反射建立辛體系研究了在軸向沖擊載荷下圓柱殼的局部屈曲。

本文在前人研究圓柱殼的基礎上，通過改變殼的幾何構型來討論殼體在不同構型下緩沖吸能特性，因此提出了階梯形殼的概念。階梯形圓柱殼結構在工程實踐中有著廣泛的應用，例如激光平臺的減震基座，火箭的燃料箱，各種動力機械中的階梯形柱殼零件。研究在軸向階躍載荷作用下應力波傳播及反射對階梯圓柱殼動力屈曲的影響，首先將階梯圓柱殼拆分成兩段圓柱殼(如圖1所示，設與固定端直接相連半段為左半段，與固定端不直接相連半段為右半段)進行建模并求解，之后考慮應力波傳播及反射在分界面處的連續性條件建立兩段圓柱殼的聯系，從而得到完整階梯圓柱殼的控制方程及解的形式。最后考慮邊界條件和應力波波陣面到達殼的不同位置的相容條件，求得相應的屈曲分叉條件。計算分析階梯圓柱殼臨界屈曲載荷與應力波波陣面、階梯圓柱殼左半段的壁厚與中面半徑比(以下簡稱厚徑比)、階梯圓柱殼右半段厚度與左半段厚度之比(以下簡稱厚度比)的關系；并且比較了質量相同的階梯圓柱殼與等厚度圓柱殼發生屈曲的臨界載荷。

圖1 受軸向沖擊的階梯圓柱殼

1 控制方程及求解

如圖1所示的階梯圓柱殼，由兩段長均為L，中面半徑均為r的圓柱殼組成，其中左半段圓柱殼厚度h，右半段厚度為左半段的s倍。階梯圓柱殼密度為ρ，彈性模量為E，泊松比為ν。建立柱坐標系，x,θ,z分別表示軸向、周向和徑向坐標，w表示殼體中面上的點沿z軸方向的位移。根據彈性圓柱殼屈曲的哈密頓變分原理，建立左半段和右半段圓柱殼的徑向位移控制方程[18]分別如式(1)和(2)所示

(1)

(2)

其中D=Eh3/12(1-ν2)，Nx是殼體所受軸向載荷，殼體端部受軸向階躍載荷沖擊時，圓柱殼中應力波以縱波的形式傳播，應力波傳播波陣面位置xe，反射波波陣面位置xr，其中ce為波速。本文主要討論階梯圓柱殼受軸向沖擊后，應力波從沖擊端傳播到固定端并經固定端反射回沖擊端的情況，由于分界面對應力波傳播產生反射和透射，階梯圓柱殼被應力波波陣面劃分成四個區域為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。對于理想彈性階梯圓柱殼的應力波傳播和反射可通過其軸向力被描述為

令

W=w/r,X=x/r,T=cet/r,ξ2=h2/3r2(1-ν2)，

P=Nx/Eh,代入式(1)可將其無量綱化為如下形式

(3)

令

W(X,θ,T)=Φ(X,T)Ψ(θ,T)

(4)

考慮函數Ψ(θ,T)的邊界連續條件(θ=0和θ=2π)有

(5)

由上式可以求出Ψ(θ,T)的通解為

Ψ(θ,T)=c1cos(ηθ)+c2sin(ηθ)

(6)

(7)

對于右半段經相同的處理方法得到關于Φ(X,T)滿足的方程為

(8)

采用無量綱參數，階梯圓柱殼總長為2,沖擊端處X=0，分界面處X=1，固定端處X=2。求解式(7)和(8)可得到Φ(X,T)的通解為

(9)

(10)

(11)

(12)

其中

2 邊界條件及相容條件

2.1 邊界條件

考慮沖擊端部鉸支，非沖擊端部固支有

(13)

(14)

2.2 相容條件

應力波傳播經過固定端會發生反射，根據應力波反射到達不同的時間段，有如下相容條件

2.2.1 反射波波陣面到達區域Ⅲ與區域Ⅳ交界面

(15)

考慮分界面處的相容條件：

(16)

2.2.2 反射波波陣面到達區域Ⅰ與區域Ⅱ交界面

(17)

考慮分界面處的相容條件

(18)

3 分叉條件

階梯圓柱殼分叉意味著在軸向階躍載荷作用下殼體不能維持在平衡位置附近的微小橫向振動而變成發散型運動的過程。接下來對應力波傳播到達固定端發生反射后的屈曲分叉進行研究。

A3C3=0

(19)

其中C3=(a2,b2,c2,d2,a3,b3,c3,d3,a4,b4,c4,d4)T，得到A3為12×12矩陣，式中若C3=(a2,b2,c2,d2,a3,b3,c3,d3,a4,b4,c4,d4)T=0，由式(11)中Φ(X,T)表達式可知Φ(X,T)=0，則W(X,θ,T)=Φ(X,T)Ψ(θ,T)=0，說明屈曲現象將不發生。所以上式有非零解的條件即分叉條件是

|A3|=0

(20)

A4C4=0

(21)

其中

得到A4為12×12矩陣，有分叉條件

|A4|=0

(22)

4 數值計算結果及分析

沖擊端部鉸支，非沖擊端部固支的階梯圓柱殼受軸向階躍載荷作用，發生屈曲的臨界載荷可由分叉條件得到。分叉屈曲有多個分支，取前三階的前三支曲線進行分析。

圖2給出了將厚徑比ξ=0.05,厚度比s=2代入式(20)和(22)得到的臨界載荷隨應力波波陣面的變化曲線。

從圖2可以看出，隨著屈曲階數n的增大臨界屈曲載荷值越大，n=0,即發生軸對稱屈曲時臨界載荷最小。應力波經固定端反射，反射波未通過分界面前臨界載荷逐漸降低并趨于平緩；反射波通過分界面后臨界屈曲載荷相對緩慢地下降。

圖3(a)給出了將s=2,T=2.5(表示在時刻T,應力波波陣面到達階梯圓柱殼某一位置,此處代表反射波未通過分界面)代入式(20)得到的臨界載荷與厚徑比的關系；圖3(b)給出了將s=2,T=3.5(表示在時刻T,應力波波陣面到達階梯圓柱殼某一位置，此處代表反射波通過了分界面)代入式(22)得到的臨界載荷與厚徑比的關系。

從圖3可以看出，隨著屈曲階數n的增大臨界屈曲載荷值越大，n=0,即發生軸對稱屈曲時臨界載荷最小。隨著厚徑比增大臨界載荷也隨之增大。

圖4(a)給出了將ξ=0.05,T=2.5代入式(20)得到的臨界載荷與厚度比的關系；圖4(b)給出了將ξ=0.05,T=3.5代入式(22)得到的臨界載荷與厚度比的關系。

(a) 波陣面到達區域Ⅲ與區域Ⅳ交界面

(b) 波陣面到達區域Ⅰ與區域Ⅱ交界面

Fig.2 The axial critical buckling loads with time of wave front propagation

(a) 波陣面到達區域Ⅲ與區域Ⅳ交界面

(b) 波陣面到達區域Ⅰ與區域Ⅱ交界面

Fig.3 The axial critical buckling loads with the ratio of thickness and radius

(a) 波陣面到達區域Ⅲ與區域Ⅳ交界面

(b) 波陣面到達區域Ⅰ與區域Ⅱ交界面

從圖4可以看出，隨著屈曲階數n的增大臨界屈曲載荷值越大，n=0,即發生軸對稱屈曲時臨界載荷最小。隨著厚度比增大臨界載荷也隨之增大，應力波經固定端反射通過分界面之前臨界載荷隨厚度比增大曲線越來越陡；反射波通過分界面后臨界載荷隨厚度比增大相對平緩。

從圖5可以看出，應力波經固定端反射通過分界面之前相同質量的階梯圓柱殼比等厚度圓柱殼更易發生屈曲，且隨著厚度比增大，屈曲越容易發生；反射波通過分界面后相同質量的階梯圓柱殼比等厚度圓柱殼更難發生屈曲，且隨著厚度比增大越難發生屈曲。

5 結 論

對于階躍載荷作用的階梯圓柱殼，考慮沖擊端部為鉸支，非沖擊端部為固支的情況。計算分析了應力波經固定端發生反射后，階梯圓柱殼臨界屈曲載荷分別與波陣面傳播位置，厚徑比，厚度比的關系；并比較了階梯圓柱殼與等厚度圓柱殼的屈曲臨界載荷。計算結果表明：

(a) 波陣面到達區域Ⅲ與區域Ⅳ交界面

(b) 波陣面到達區域Ⅰ與區域Ⅱ交界面

Fig.5 The comparison of the critical buckling loads about const-ant thickness and step cylindrical shells

(1) 發生非軸對稱屈曲比軸對稱屈曲的臨界載荷大。

(2) 應力波傳播經固定端反射，反射波通過分界面后比通過分界面之前固定端部更難發生屈曲，而沖擊端部較易發生屈曲。

(3) 隨著厚徑比增大臨界載荷也隨之增大，且階數越高的臨界載荷越大。

(4) 應力波經固定端反射通過分界面之前臨界屈曲載荷隨厚度比增大快速增大；反射波通過分界面后臨界載荷隨厚度比增大增長比較平緩。

(5) 應力波經固定端反射通過分界面之前相同質量的階梯圓柱殼比等厚度圓柱殼更易發生屈曲，反射波通過分界面后相同質量的階梯圓柱殼比等厚度圓柱殼更難發生屈曲。