豎向人-結構相互作用體系理論模型研究

李壽濤, 任 珉, 張芝芳, 徐梅玲

(1.廣州大學-淡江大學工程結構災害與控制聯合研究中心，廣州 510006；2.湖北正天工程咨詢有限公司，湖北 宜昌 443000)

隨著工程中柔性結構的增多和新材料的應用，特別是在高人群密度的大跨或柔性建筑結構中，考慮人體對于結構的影響十分重要，因此這方面的研究成為了當下研究熱點[1]。早期，在結構工程中，人體(人群)被簡化為附加質量作用于結構上，后來在測試過程中發現人體還會改變結構的阻尼，于是將人體(人群)作為具有動力性能的模型來考慮，提出了質量-彈簧-阻尼人體模型用于研究人-結構相互作用體系的動力特性。Ji等[2-3]根據Twickenham露天體育場館看臺測試結果，并基于對人在振動環境中的研究，提出了附加質量器的單自由度質量-彈簧-阻尼人體模型與單自由度結構相互作用的兩自由度人-結構體系，如圖1(a)所示。Sachse等[4]將人群簡化為單自由度質量-彈簧-阻尼模型，并與結構組成兩自由度(2DOF)人-結構相互作用體系進行模態參數分析，如圖1(b)所示。Shahabpoor等[5]將行走人體簡化為單自由度模型作用于結構，分析了該體系的動力特性。Zhou等[6]采用兩種方法構建人-結構相互作用的兩自由度模型，一種為分離建模，將人體和結構分別建為單自由度系統再物理結合；另一種方法將人體和結構視為一個相互耦合，不可分割的整體進行建模；結果表明綜合建模較分離建模更合理。然而，在人-結構相互作用體系研究中，將人體模擬為單自由度模型將忽略人體的高階振型影響，因此有必要將人體模擬為兩自由度以上的模型。Griffin等[7]通過對坐姿人體的表觀質量試驗結果進行理論和數值分析后，提出了2種單自由度人體模型和4種兩自由度人體模型，且通過實驗比較發現兩自由度模型能更好地模擬人體的頻率和相位，如圖2所示，其中圖2(a)和(b)為串聯兩自由度模型，分別不考慮附加質量和考慮具有附加質量，而圖2(c)和(d)則為并聯兩自由度模型。Griffin等研究表明不考慮附加質量的兩自由度質量-彈簧-阻尼模型比考慮附加質量的模型更適合用于描述人體動力特性。

(a) 兩自由度附加質量器模型(b) 兩自由度模型

圖1 兩自由度人-結構體系模型

圖2 兩自由度人體模型

Fig.2 Two-degree-of-freedom mannequin

國內也有學者開展了相關研究。王海等[8]針對通過分布雙自由度模型研究了人-梁的耦合作用。韓慧璇等[9]采用能量法研究靜立人群與板聯合系統的動力學特性，對人-板系統的動力學特征進行分析。王益鶴等[10]建立了步行過程中人與結構相互作用的系統運動方程，研究人與結構的相互作用及動力響應。張瓊等[11]建立以行人步頻和體重表示的剛度-質量-阻尼模型，用于分析考慮人-橋豎向動力相互作用和只在人行荷載作用下人行橋的動力響應。陳建英等[12]提出了人體簡化為考慮附加質量塊的單自由度質量-彈簧-阻尼體系，得到單人、多人作用于人-簡支梁相互作用體系的響應情況。謝偉平等[13]將人體簡化為彈簧-質量-阻尼單自由度系統，分析人/結構質量比和結構頻率等因素對行人足底反力的影響，進而揭示人-橋相互作用的影響因素及變化規律。簡方梁等[14]將人體當做荷載激勵作用于上海虹橋站人行走廊的有限元(ANSYS)建模上，對結構振動的舒適性進行評價。朱前坤等[15]建立人體單自由度動力響應數學模型以研究考慮人-樓梯相互作用時，大跨度柔性樓梯在人行激勵作用下的振動舒適度。韓小雷等[16]采用有限元軟件建立樓板模型，施加多個行人荷載得到樓板的加速度反應譜，以評估建筑樓板的舒適性。張高明[17]研究單人和人群荷載作用于廣州火車站站房候車大廳時，通過采用振級法判斷樓板結構的舒適度。綜上可知，國內關于人-結構相互作用的研究，更多側重于確定體系的動力特性和結構的舒適度，而基礎的理論模型研究相對較少，且大多采用單自由度人體模型進行研究。

本文主要依據Griffin等提出的不考慮附加質量塊的串聯、并聯兩自由度人體模型，結合單自由度結構以組成三自由度人-結構相互作用體系理論模型，研究人-結構相互作用體系的共振頻率，并利用試驗結果對人體模型參數進行優化，使模型更貼近實際情況。

1 三自由度人-結構體系理論模型

從人體生物動力學的研究中發現：無論人體處于坐姿或站立的狀態下，兩自由度模型均比單自由度模型更能有效模擬人體的動力特性[18]。基于這一結論，本文結合Griffin等提出的人體串聯、并聯兩自由度模型以及單自由度結構模型，組合得到了三自由度人-結構相互作用體系，如圖3所示。其中圖3(a)表示串聯兩自由度的人體模型與單自由度結構模型組合，用2a_s表示，圖3(b)則表示為并聯的兩自由度人體模型與單自由度結構模型組合，用2c_s表示。圖中，M1、M2分別表示人體的模態質量，K1、K2分別表示人體的模態剛度，C1、C2分別表示人體的模態阻尼，Ms、Ks、Cs分別表示結構模型的模態質量、模態剛度、模態阻尼，S為安裝于結構模型上的拾振器，F為施加在結構模型上的作用力。

(a) 模型2a_s(b) 模型2c_s

圖3 三自由度人-結構相互作用模型

Fig.3 3DOF human-structure model

1.1 由串聯兩自由度人體模型構成的人-結構體系理論模型(模型2a_s)

(1)

根據Ji團隊對2DOF的推導方法[20]，得到加速度頻響函數

(2)

其模為：

(3)

其中：

并有：

1.2 由并聯兩自由度人體模型構成的人-結構體系理論模型(模型2c_s)

將人體簡化為并聯兩自由度模型，并與單自由度結構模型組成三自由度質量-彈簧-阻尼體系模型。根據結構動力學，該模型在簡諧荷載作用下的運動方程如式(4)所示，采用類似模型2a_s的方法推導得到結構響應頻率函數如式(5)所示

(4)

傅里葉變換后加速度頻響函數為

(5)

其中有

(5a)

(5b)

4(ξ1β1α1+ξS)ξ2β2+4(ξ2β2α2+ξS)ξ1β1]

(5c)

(5d)

模型2a_s和模型2c_s推導得到的結構響應加速度頻響函數中其對應參數表示的物理意義是一致的。而不同之處在于人體模型自由度的連接方式不同，所以兩模型運動微分方程中的模態質量矩陣、模態剛度矩陣、模態阻尼矩陣是不同的。

2 模型驗證

2.1 簡化的三自由度人-結構模型與兩自由度模型對比

基于三自由度的人-結構體系模型中，若將兩自由度人體模型去掉一個自由度，則可簡化為與Ji研究中一致的兩自由度人-結構體系模型[21]。將兩模型理論推導結果(式(2)、式(5))進行化簡得到式(6)，并將其與已有文獻結果對比發現完全一致。同時在MATLAB中運算3DOF人-結構體系結構加速度頻響函數(式(2)、式(4))，當其參數取值與2DOF相同時(兩自由度人體模型中對應的一個自由度參數取為零)，發現兩曲線完全重合，以此初步驗證了理論推導的準確性。

(6)

2.2 驗證基頻的計算結果

由圖3(a)知，若不考慮模型2a_s阻尼的影響，則該模型與結構動力學中三自由度層剪切結構類似。于是，根據結構動力學中三自由度自由振動方程，采用MATLAB中特征向量、特征解的函數EIG計算模型的圓頻率。其中將質量取為：M1=1.60×105，M2=34.44，M3=23.64，剛度取為：K1=7.80×106，K2=2.64×104，K3=3.32×104，代入公式|K-ω2M|=0，通過MATLAB編程計算結構固有圓頻率為：0.90 rad/s、34.94 rad/s、93.79 rad/s。在模型2a_s中，阻尼取為：Cs=0，C1=0，C2=0；質量Ms，M1，M2和前述M1，M2，M3取值一致，剛度Ks，K1，K2和前述K1，K2，K3取值一致；代入式(2)中繪制函數曲線圖，并判斷其極大值，由此得到體系共振的圓頻率為：0.90 rad/s、34.94 rad/s、93.79 rad/s。兩種不同方式所計算的結果基本無誤差，因此認為采用功率譜的方法推導得到的體系共振頻率公式是正確的。

3 模型參數優化

利用模型2c_s 模擬已有的試驗結果，其中人體模型采用的是Griffin等提出的豎向兩自由度模型參數，根據模型2c_s中結構加速度頻響函數(式(5))計算得到質量比α=0.54，阻尼比為ξ1=0.43，ξ2=0.35，圓頻率ω1=82.88 rad/s、ω2=36.63 rad/s，頻率比β1=4.58，β2=2.04(結構固有頻率為2.88 Hz)，單人站立時有α1=0.138，四人時有α1=0.525。對比圖4與圖5可知，試驗測試單人站立于平臺時(圖4(a))，體系共振頻率為2.46 Hz，略低于原結構頻率2.88 Hz；四人站立于平臺時(圖4(b))，體系共振頻率出現了兩個，分別為1.92 Hz、7.65 Hz；采用模型2c_s模擬的結果中，在0～15 Hz頻率段內，單人站立于平臺時共振頻率為8.237 Hz，四人站立于平臺時的共振頻率為9.97 Hz，而且模型2c_s模擬圖與試驗結果中收斂情況相悖。因此，認為該模型中采用Griffin人體模型參數模擬人-結構相互作用體系是不合理的。

(a) 單人站立于平臺

(b) 四人站立于平臺

針對Griffin人體模型參數不合理這一情況，提出采用單純形法(Nelder-Mead Simplex Method)優化計算豎向人-結構相互作用體系中的人體參數，4個優化參數分別如下：人體兩自由度的比值α=M1/M2、人體模型中自由度m1所占人體總模態質量的比值α1=M1/MH、兩自由度人體模型的阻尼比為ξ1、ξ2。由于單純形法為無邊界條件的優化方法，需設定參數優化時合理的邊界條件，使得優化結果有物理意義。查閱相關文獻可知[22]，兩自由度人體模型的質量比α的合理取值范圍在0.5～2；自由度m1占總模態質量的比值α1應為小于1的正值；依據文獻[23-24]，人體的阻尼比的合理范圍在20%～50%。據此，設定四個人體模型參數的優化范圍為：α∈(0.5,2)、α1∈(0,1)、ξ1∈(0.2,0.5)、ξ2∈(0.2,0.5)。優化目標定義為理論計算與試驗結果的偏差平方和△(式(7)所示)，在MATLAB中使用函數fminsearch進行優化計算。

(a) 單人站立于平臺(Griffin)

(b) 四人站立于平臺(Griffin)

(7)

優化后，豎直站立人體串聯模型2a_s的相應人體參數為：α=1.932，α1=0.041，ξ1=0.218，ξ2=0.381；豎直站立人體并聯模型2c_s的人體參數為：α=0.930，α1=0.051，ξ1=0.335，ξ2=0.421；彎膝站姿人體串聯模型2a_s的相應人體參數為：α=1.743，α1=0.343，ξ1=0.205，ξ2=0.200；彎膝站姿人體并聯模型2c_s的相應人體參數為：α=1.774，α1=0.006，ξ1=0.426，ξ2=0.233。所有優化后得到的參數均落在文獻中指明的合理范圍。

人體靜止豎向站立的前兩階頻率約為5.50 Hz、12.00 Hz，因此，根據四個優化參數得到兩自由度人體模型的模態質量M1=α1MH、M2=α1MH/α，模態剛度K1=(2πf1)2M1、K2=(2πf2)2M2，模態阻尼C1=2ω1M1ξ1、C2=2ω2M2ξ2，如表1和表2所示。

表1 優化后站姿人體模型參數

表2 優化后彎膝站姿人體模型參數

圖6各線由上到下分別表示直接將Griffin文中參數分別用于當前2a_s和2c_s模型得到的結果同Griffin文中試驗結果比較后得到的偏差；以及采用優化參數得到的2a_s和2c_s模型的結果同Griffin文中試驗結果之間的偏差。由圖可知，相比于采用Griffin等提出的參數計算結果，參數優化后的模型2a_s的模擬結果和試驗結果偏差值平方和明顯更低，因此可以實現通過參數優化來顯著改善模擬結果。

4 結 論

將串聯和并聯的兩自由度人體模型分別作用于單自由度結構模型，得到三自由度人-結構相互作用體系模型(模型2a_s、模型2c_s)，并利用人體的高阻尼特性，分析系統的受迫振動運動方程，通過加速度響應函數分析系統共振頻率，并對試驗結果進行模擬，同時采用單純形法對人體的兩自由度模型進行參數優化，分別模擬了豎向站立、彎膝站立人體-結構體系試驗結果，并得到每組模擬結果與試驗結果的偏差平方和。

結論如下：

(1) 在人-結構相互作用體系的研究中，Griffin等的人體模型參數無法直接用于模擬試驗測得的共振頻率。

(a) 共振頻率偏差值平方和(豎直站立)

(b) 共振頻率偏差值平方和(彎膝站立)

(2) 針對模型2a_s、模型2c_s模擬人-結構相互作用體系，采用單純形法優化人-結構相互作用體系的參數，得到兩模型中的人體參數，驗證了豎向人-結構相互作用體系的試驗結果。

(3) 通過對比分析使用優化參數后模型2a_s和2c_s模擬試驗結果的情況，發現模型2a_s能更好地模擬人體彎膝站姿、豎直站姿作用于結構時體系的動力響應情況。

由此可知，對人體模型參數優化后的理論模型能較好模擬試驗結果，且人體為串聯兩自由度模型組成的三自由度體系(模型2a_s)能更好的模擬豎直站立、彎膝站立的人-結構體系的動力響應特性。