整體代入求值五例

陸敬雨

（江蘇省宿遷市宿豫區陸集中學，江蘇 宿遷）

整體思想是數學教學中的一種重要的數學思想。整體代入可以解決一些復雜的代入求值問題。整體代入求值大致可分為，直接整體代入、取相反數之后整體代入、變形后整體代入、多次整體代入和冪的運算有關的整體帶入等幾種常見情況。

一、直接整體代入

這種情況是指一些比較簡單的代入求值問題，對已知條件不需要處理便可以直接代入計算。

例如：已知x-y=7，求代數式x-y-3的值。

解析：此題只要把x-y當做整體即可。即：x-y-3=7-3=4

二、取相反數后整體代入

這種題型是表面上看起來已知條件和要求值的代數式沒有明顯關系，其實是已知條件和代數式的部分項是互為相反數關系。

例如：已知x-y=7，求代數式3-x+y的值。

解析：從題目上看出x-y與-x+y互為相反數。

因為x－y=7

所以－x+y=－7

所以原式=3－7=－4

三、變形后整體代入

這種題型雖然比上面兩種情況稍復雜一些，但是利用等式性質對已知條件進行一些簡單變形后就可以整體代入順利求出原代數式的值。

例1.已知4x2-2y+5=7，求2x2-y+1的值。

解析：由4x2-2y+5=7兩邊同時減5可得：4x2-2y=2

兩邊同時除以2得：2x2-y=1

把2x2-y=1整體代入得：2x2-y+1=1+1=2

兩邊同時乘以xy得：y-x=3xy

兩邊同時乘-1得：x-y=-3xy

把x-y=-3xy作為整體代入得：

四、變形后多次整體代入

這種題型表面上看，已知條件和所要求值的代數式沒有明顯的關系，只要我們仔細觀察，對已知條件和所要求值的代數式適當變形，就可以發現它們之間的關系。

例1.已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2013的值。

解析：因為x2+x-1=0

所以x3+x2-x=0

所以x3+x2=x

所以x3+2x2+2013=x3+x2+x2+2013

把x3+x2=x整體代入得：

原式=x+x2+2013

又因為x2+x-1=0

所以x2+x=1

例 2.已知a-b=2，b-c=1，求a（a-b）-2c（b-c）的值。

解析：因為a-b=2，b-c=1

所以a-c=3

所以a（a-b）-2c（b-c）=2a-2c=2（a-c）=2×3=6

五、與冪的運算有關的整體帶入

這種類型的題目是通過同底數冪相乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪相除等相關知識的靈活運用對代數式進行變形后再進行整體帶入。

例 1.若am=8，an=16，則am+n=______

解析：這是一個同底數冪相乘的逆運用am+n=am·an，然后把am=8，an=16整體代入即可。

例 2.若xn=4，yn=9 則（xy）n=_______

解析：此題是運用積的乘方可以變形為（xy）n=xn·yn，然后把xn=4，yn=9整體代入即可求出結果。

例 3.已知x2y=3，求 2xy（x5y2-3x3y-4x）的值。

分析：此種類型的題目是在單項式乘以多項式之后，再運用積的乘方和冪的乘方逆運用把各個項的底數都化為相同，再進行整體帶入。

解：2xy（x5y2-3x3y-4x）=2x6y3-6x4y2-8x2y=2（x2y）3-6（x2y）2-8x2y

當x2y=3時，

例 4.若am=4，an=9 則a3m-2n=_______

解析：此題可以通過同底數冪相除和冪的乘方的逆運用對a3m-2n代數式進行變形為：a3m-2n=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2，這時候把am=4，an=9代入即可。

練習：已知ab=3，求（2a3b2-3a2b+4a）·（-2b）的值。

總而言之，利用整體帶入求代數式的值就是把已知條件和代數式中的部分項看作一個有機的整體再進行整體帶入，從而求出代數式的值。對于已知條件和代數式表面上沒有直接關系的，可以利用等式性質對已知條件進行變形或者對代數式進行恒等變形，使其能夠整體帶入。

練習：

1.已知：2x-2y=14，求 3+x-y的值。

解：因為2x-2y=14

所以x-y=7

所以3+x-y=3+7=10

2.已知 5m+5n-1=4，求（m+n）2+3m+3n的值。

解：因為5m+5n-1=4

所以5m+5n=5

所以m+n=1

3.已知 3a2-a-2=0，求 5+2a-6a2的值。

解：因為3a2-a-2=0

所以3a2-a=2

所以a-3a2=-2

所以2a-6a2=-4

所以 5+2a-6a2=5+（-4）=1

4.已知x-y=3，求x2-y2+2x-8y-4的值。

解：原式=（x-y）（x+y）+2x-8y-4

把x-y=3代入得：

再把x-y=3代入得：

原式=5×3-4=11