一道不等式的評講歷程

季長征

（江蘇省高郵中學，江蘇 高郵）

在高三考試中經常遇到這類不等式，筆者嘗試以專題的形式加以評講，旨在從紛繁的解法中找到一些可以掌握的規律，提煉一些模型，幫助學生建構知識體系，提高學生的學習效率，本著以“以學生為主體，師生合作”的原則，和學生一起探索。

下面是一道原題“數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，且成等差數列。（3）正數數列{cn}，令N*）。求數列{cn}中的最大項。”此題共有三問，我截取了最后一問，由第一問可知an=n，因此，要求數列{cn}中的最大項，即轉化為研究數列{cn}的單調性，就變為證N*），筆者就如何用專題課講解此不等式同大家一起分享。

師：該不等式是在什么條件下成立？是否有提示語在里面？

生1：大于等于3的正整數。

師：對，在遇到與正整數的有關命題，我們通常想到什么方法？

生1：數學歸納法。

師：下面請生1用數學歸納法完成此題。

生1：①當n=3時，34＞43，所以原不等式顯然成立。

②假設當n=k（k≥3）時結論成立，即kk+1＞（k+1）k成立，也就是，則當n=k+1時，

生 1：（k+1）2＞k（k+2）由此得

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1，故當n=k+1時亦成立，綜上原不等式成立。

師：數學歸納法是一種由特殊到一般，從有限到無限思想的重要數學方法，是數學界的“多米諾骨牌”，此方法難點在想到用真分數性質，及如何運用好假設。學生解決此題能夠體會數學歸納法的本質所在。

生2：老師，我覺得不等式nn+1＞（n+1）n（n≥3，n∈N*）右邊是正數，所以我把右邊除了過來，我下面沒走下去。

師：你卡殼的地方是？

師：你是否嘗試帶大于等于3的幾個數試一試的？

生2：老師我算過了，我想到了！它是一個遞減數列。

師：那下面怎么處理呢？

師:數學解題過程是在曲折中前進的，遇到問題從而產生新的思路，在思維不斷求變的過程中，學生認識問題的能力得以提高，解題能力得到錘煉。

生3：老師我也想到證明單調性，但開始時我就轉化為研究函數的單調性，然后不知道怎么處理了。

這樣的求導方式讓很多學生覺得驚奇不已，我讓學生4到黑板上演示了詳細過程，班級的氣氛再次熱烈起來。

師：現在請生3繼續完成吧。

師：生4用的知識我們暫時不會，大家想想我們就沒有其他方法了嗎？

班級一片寂靜……過了一會兒，我看到學生一籌莫展，做了一點提示，我們能不能將函數變變形，將它變成大家熟悉的函數求導呢？

師:研究數列單調性時，注意不能直接求導，數列雖是特殊的函數，但它不連續，所以要轉化為函數求導，當對求導遇到困難時，在將函數變為過程中體現的數學的化歸思想，化未知為已知，化陌生為熟悉。

師：這時，我趁熱打鐵。常規方法你們都已經說了，而且講的非常棒。現在我來問大家對這個函數熟悉嗎？大家異口同聲說：“熟悉。”那么我們能不能把這道題向這個方面轉化呢？

當n+1＞n≥3時，f（n+1）＜f（n），得nn+1＞（n+1）n。

師：太棒了，將一道陌生的題目轉化為我們大家再熟悉不過的題目了。要證此不等式nn+1＞（n+1）n成立，想到數學的對稱性，把n+1和n各放在一側，想到了兩邊取自然對數，從而領悟出數學知識的內在聯系可以通過對題目的結構理解而產生，利用數學上結構的對稱美產生了思維的火花。化未知為已知，化陌生為熟悉。

課堂教學要基于學生的“最近發展區”，使所有學生都有所發展，盡量利用課本后課中出現的一些好素材，同時根據教學目的，采取橫向或縱向的發散，讓問題落腳點在大家熟悉的區域，通過教師引導，師生共同探究，師生共同感受到數學的統一美和完整美，最終目的是學生探究感悟數學的精髓，培養學生分析問題和解決問題的能力。