多元正態分布下的投資方案簡析

張伊寒 保定市第一中學

隨著我國綜合國力的增強，GDP不斷增長，我國人居收入在不斷的增加，越來越多的家庭有了更多的可支配資金。經濟的轉型也使得人們的消費觀念發生了改變，多種多樣的金融產品和理財方案的出現，促使著人們改變將多余的資金存入銀行的這種資金處理方式。股票、黃金儲蓄、國債和其他的金融衍生產品往往有著比儲蓄更高的收益，也是當下最為熱門的投資方式。有需求就會有市場，投資公司如春筍般涌現。如何投資和如何分配投資資金，是人們最為關注的問題之一。本文將針對如何投資問題進行討論。現在有一位投資這，他手中的資金為Q。他該怎么選擇怎樣的投資方式才更加合理，選擇怎樣的投資方案才能在風險相對較小而受益相對較高呢？

為了便于分析問題，我們首先選擇一種投資的單周期投資方式進行討論，得到該種投資方式的收益。然后根據一種投資方式的結論延伸到多種投資方式的組合，最終得到最符合需求的投資方案的模型。

模型由淺入深，首先討論投資者在一個周期內單種投資方式的收益。假設該投資者單周期投資的為黃金儲蓄[1]，投資者投資的資金在其總資金的比例為w，則投資黃金的資金為在t時刻，單位數量的黃金的價格為S(t)，可以知道購買的黃金的數量為表示從購入到經過一個周期后，一份黃金價格。那么，在一個周期之后，投資者獲利為：

應該注意的是，黃金的價格是隨市場變化的，價格可能有所升高，也可能降低，由此可知，對投資者來說，投資黃金得到的利益可能是正數，也可能是負數，即投資者可能賺了也可能虧了。不僅黃金儲蓄如此，類似股票等價格隨著市場變化的投資方式的收益都是可正可負的，這也就是我們所說的風險投資。

上文得到了具有風險的投資的一個周期中，單一種投資方式的期望收益，現在我們討論多種風險投資方式下一個周期后投資者能夠獲得的利益模型。在建立模型之前，首先規定模型中涉及到量的符號表示，我們用i代表投資者的第i種風險投資方式，用wi代表該在第i種風險投資方式下，投入的資金比例，Si(t)表示第i種投資產品在購入時刻的價格，Si(t+1)表示第i種投資產品在一個周期之后的價格。

文章中提到了資產組合，現在介紹資產組合和其表達形式。資產組合是資產持有者對其持有的各種股票、債券、現金以及不動產進行的適當搭配。我們將投資者在多種投資方式中的投資比例用表達式w=(w1,w2,…,wi)表示，該表達式稱為資產組合的表達形式[2]。

我們已經求得一種投資方式在一個周期后的收益模型，將該模型擴展到多種投資方式中，再分別對各個投資的收益模型求和就可以得到投資者在多種投資方式下一個周期的收益模型為：

假設多種投資方式下一個周期的收益率為r(t)，則由上述模型可以得到收益率的表達式為：

經驗告訴我們，不要把雞蛋放在同一個籃子里。這是因為多種投資方式的組合可以有效的規避投資的風險。投資的風險是不確定的，因此在本文中，我們假設投資的收益率是多元正態分布，也認為所有的投資方式都是有風險的，均為風險投資（對于銀行儲蓄、債券等投資方式，也是一種風險投資，只不過我們認為這類投資方式的賠的風險為0）。

接下來我們討論投資的風險性。利用Xi表示投資i在一個周期的收益率，那么就可以用表示投資的期望收益率。類似資產組合的表達形式，我們將投資的收益率向量和投資的期望收益率向量用以下表達式分別表達：

同時，利用方差和協方差的計算公式求的收益率的兩個方差表達式：

如果w=(w1,w2,…,wi)為該投資者的資產組合向量，那么多種投資方式的期望收益率可以表示為：

則，多種投資方式組合的收益率的方差為：

以上就是本文對多種投資方式在單一周期下的獲利和風險分析。根據單周期多投資方式的收益函數得到期望收益率和收益率的方差，投資者可以根據期望收益率和收益率方差選擇風險和收益進行投資。由此可見本模型在金融類投資中有著不小的應用。