從教學(xué)出發(fā)淺談“不動點(diǎn)理論及其應(yīng)用”

楊晶 趙娜

摘要：不動點(diǎn)理論是泛函分析和高等數(shù)學(xué)中的一個非常重要的理論，也是本科及研究生泛函分析教學(xué)中的一個重難點(diǎn)，一直得到眾多學(xué)者及數(shù)學(xué)家們的廣泛關(guān)注。文章將在不動點(diǎn)理論及不動點(diǎn)理論在數(shù)列、方程求解方面的應(yīng)用給出對不動點(diǎn)理論的一些教學(xué)思考。

關(guān)鍵詞：不動點(diǎn)理論;應(yīng)用;教學(xué);方程

中圖分類號：G642.41? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）49-0196-02

不動點(diǎn)理論是一個歷久彌新的領(lǐng)域，它即古老又富有創(chuàng)新的活力，在近現(xiàn)代的發(fā)展中，有關(guān)不動點(diǎn)理論的研究極其的快速，因此不動點(diǎn)理論也是日臻完善。而有關(guān)不懂點(diǎn)理論的很多知識都是本科及研究生課程的基本[1]是泛函分析中最重要的理論之一，它在研究數(shù)學(xué)物理方程及求解方程方面有著重要的作用。下面我們將從不動點(diǎn)理論及應(yīng)用方面闡述我們關(guān)于教學(xué)的思考和探討。

一、不動點(diǎn)理論

無論是在本科還是研究生教學(xué)中，不動點(diǎn)理論都是從最經(jīng)典的巴拿赫不動點(diǎn)定理開始的，這里我們首先給出巴拿赫不動點(diǎn)定理，即：

定理1.1（Banach不動點(diǎn)定理—壓縮映射原理[1，2]）設(shè)（X，d）是度量空間，T是X到X的壓縮映射，則T有且只有一個不動點(diǎn)x ，即存在x ∈X使得 ，其中若存在常數(shù)0

在教學(xué)中我們講解壓縮映射原理時要對學(xué)生強(qiáng)調(diào)該定理是對度量空間而言的，從而也可以進(jìn)一步強(qiáng)化對度量空間的理解和掌握。這里可以引導(dǎo)學(xué)生如果我們從度量空間到巴拿赫空間那么還會不會有不動點(diǎn)定理？甚至是有什么樣的不動點(diǎn)定理？答案當(dāng)然是肯定的，我們把定理1.1中的不動點(diǎn)定理從度量空間推廣到Banach空間即有：

定理1.2（Schauder不動點(diǎn)定理[1]）設(shè)E是Banach空間，X是E的非空緊凸集，f：X→X是連續(xù)映射，則f在X中存在不動點(diǎn)。

定理1.2中對于集合E的條件是很強(qiáng)的，一般我們在考慮實(shí)際問題時很難找到這樣的非空緊凸集，但若將映射f的條件加強(qiáng)為緊映射，則其定義域的條件將會不被要求是緊集，甚至也可以不被要求是閉集，這就是下述的Schauder不動點(diǎn)定理II，即為：

定理1.3（Schauder不動點(diǎn)定理[1]）設(shè)E是Banach空間，X是E中的非空凸集，f：X→X是緊的連續(xù)映射，則f在X中存在不動點(diǎn)。

上面的三個不動點(diǎn)定理都是在抽象的無限維空間上面考慮的，在教學(xué)中可能會造成學(xué)生的困惑和不易理解，這樣我們就可以給出學(xué)生在高等數(shù)學(xué)中都學(xué)到過的相對比較熟悉的一種不動點(diǎn)定理，即當(dāng)我們在一維R上討論不動點(diǎn)定理時，我們有：

定理1.4[3，4] 設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且對任意的x∈[a，b]，恒有a≤f（x）≤b，則至少存在一點(diǎn)

使得f 我們稱x 為f（x）的不動點(diǎn)。

對于定理1.4中的不動點(diǎn)很顯然存在代數(shù)和幾何兩方面的意義，一方面幾何意義為如果函數(shù)y=f（x）和y=x存在交點(diǎn) ，則 就是函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)。另一方面代數(shù)意義則是如果方程f（x）=x存在實(shí)數(shù)根x ，則

以上我們給出了度量空間、巴拿赫空間、一維空間中的不動點(diǎn)定理，在教學(xué)中我們的學(xué)習(xí)也是從度量空間到巴拿赫空間，然后再到內(nèi)積空間、希爾伯特空間。這樣循序漸進(jìn)地給出不動點(diǎn)定理也比較容易讓學(xué)生理解和接受。但是在教學(xué)中只給出定理和定理的證明往往是不夠的，我們還需要進(jìn)一步給出不動點(diǎn)定理的應(yīng)用以加深學(xué)生的記憶和理解。接下來，我們從學(xué)生都比較熟悉的數(shù)列和積分方程方面給出不動點(diǎn)定理的應(yīng)用。

二、不動點(diǎn)理論的應(yīng)用

我們知道數(shù)列是本科教學(xué)中最新接觸的知識，所以這里我們首先給出不動點(diǎn)定理在數(shù)列方面的應(yīng)用比較容易讓學(xué)生理解和接受。首先根據(jù)不動點(diǎn)定理1.1（壓縮映射原理）可以得到以下有關(guān)數(shù)列收斂的結(jié)論：

引理2.1[5] 對任意的數(shù)列 ，若存在常數(shù)α：0<α<1，使得對一切n∈N，有 ，則 收斂。

對于引理2.1我們可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果可以得到? 這個遞推公式且f（x）可導(dǎo)，那么我們就可以利用f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）來檢驗(yàn) 的收斂性。即如果存在常數(shù)α：0<α<1，使得f'（x）≤α<1，則利用微分中值定理，可以得到 滿足

從而我們可以得到 收斂。

接下來我們可以和學(xué)生一起來回顧一下最開始在學(xué)習(xí)數(shù)列時的一道題目，這樣不僅可以讓學(xué)生們鞏固一下之前的知識而且還可以加深對不動點(diǎn)定理的理解。

在本科我們最開始學(xué)習(xí)數(shù)列極限的知識時，我們是通過極限的存在法則（單調(diào)有界的數(shù)列必收斂）來求解這道題目的，這樣我們就需要驗(yàn)證數(shù)列{x■}同時具有單調(diào)和有界性，但在這里我們利用不動點(diǎn)定理只需要構(gòu)造一個函數(shù)然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)就可以解決我們的問題了，這也就一定程度是反映了不動點(diǎn)定理應(yīng)用的廣泛和方便。例題2.2是不動點(diǎn)定理在本科教學(xué)中有關(guān)于數(shù)列方面的應(yīng)用，下面我們給出不動點(diǎn)定理在研究生教學(xué)中有關(guān)積分方程求解方面的應(yīng)用。

總之，不動點(diǎn)定理是本科及研究生教學(xué)中的重要組成部分，學(xué)生對于定理的認(rèn)識不是直線發(fā)展的，而是螺旋式前進(jìn)的。因此，教師傳授定理的過程也不應(yīng)是一次性完成的，而是盡量在教學(xué)過程中引入能夠幫助學(xué)生理解的感性材料，降低學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，同時有意識地引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識及時分類整理，回首返顧，了解不同不動點(diǎn)定理之間的關(guān)系，以達(dá)到對所學(xué)的知識能夠形成一個有機(jī)的整體，進(jìn)而能夠靈活運(yùn)用從而去分析問題和解決問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]張恭慶，郭懋正.《泛函分析講義》上冊[M].北京大學(xué)出版社，1987.

[2]劉炳初.泛函分析[M].科學(xué)出版社，2016.

[3]龔德恩，范培華.微積分[M].高等教育出版社，2012.

[4]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社，2006.

[5]馮艷青.數(shù)學(xué)分析的不動點(diǎn)問題[J].青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001.