高中概率題中數學思想方法的運用探微

江蘇省海門中學 鄧 杰

數學思想作為對數學規律的運用與總結，是解決問題的基本思路之一。常見的數學思想方法有推斷、分類討論、數形結合、模型化、公理化和隨機化等，屬于數學科目的精髓和靈魂。在高中數學知識學習過程中，概率題是一種較為特殊的題目，題型也顯得與眾不同，教師需指導學生學會運用數學思想方法來分析和解答概率題，從而提高解題的準確度與速度。

一、運用列舉事件思想方法，清晰求解題目答案

高中數學中的概率題雖然難度一般，但是對學生的邏輯思維能力和分析能力要求較高，在一般題型中經常要用到列舉事件的方式來求解，現已得到廣泛的使用，這其實就是對列舉事件數學思想方法的運用。因此，在解決高中數學概率題時，教師要提倡學生運用列舉事件的數學思想方法，使其結合題意，把可能發生的所有事件都羅列出來并進行逐個分析，隨后挑選出滿足題目要求的事件，這樣他們能夠清晰、準確地挑選出正確答案，降低錯誤現象的出現。

例如：假如一次同時拋擲三枚硬幣，那么正好有兩枚反面朝下、一枚正面朝上的概率是多少？解析：在拋擲硬幣時，每枚硬幣的結果只有反面與正面兩種情況，三枚硬幣同時拋擲會出現以下8種情況：反反反、反反正、反正反、反正正、正反正、正反反、正正反、正正正。其中滿足題目要求的有反反正、反正反和正反反3種，那么要求解的概率是38。又如：在某次數學考試中，甲、乙、丙三人及格(互不影響)的概率0.4、0.2、0.5，考試結束后，最容易出現幾個人及格？解答：按以下四種情況計算概率，三人都及格的概率P1；三個人都不及格的概率P2；恰有兩人及格的概率P3；恰有1人及格的概率P4，通過計算，最容易出現的是恰有1人及格的情況。

如此，運用列舉事件的數學思想方法，把可能出現的所有情況均羅列出來，幫助學生清晰地認識題目，把復雜的概率問題變得簡單化，通過認真分析和篩選，找出符合題目要求的情況。由淺入深、由此及彼，在教師的引領與啟發下，讓學生樂在其中、學在其中，漸進式地感悟數學思想的魅力所在，促進學生在數學學習上的可持續發展。

二、應用數形結合思想方法，簡化學生解題過程

數形結合是一個慣用的數學思想方法，貫穿于整個教育階段，包括小學、初中和高中等，適用的題目類型也較為廣泛。在處理高中數學概率題時，部分題目如果直接采用公式法將會顯得異常復雜、困難，要想順利解決，針對條件組合類的概率題，可以應用數形結合的思想方法。為此，教師應結合具體題目，指導學生應用數形結合的思想方法來解答概率題，通過圖像把抽象化的概率題變得直觀化、具體化，優化他們的解題思路，簡化解題過程。

例如：甲、乙兩人計劃上午8點至9點之間在體育場見面，規定無論誰先到體育場均等待15分鐘，假如對方仍然沒有到達就可以離開，那么甲、乙兩人可以見面的概率是多少？解析：由于甲、乙兩人計劃的時間為8點至9點，共1個小時，該時間段一共是60分鐘，可以建立一個平面直角坐標系，分別用x軸與y軸代表甲、乙兩人達到體育場的時間，并設甲、乙兩人達到體育場的時間分別是x與y，由于先到15分鐘的可以離開，那么兩人可以見面的條件為丨x-y丨≤15，如下圖所示：

其中正方形表示整個時間，上下兩個三角形表示甲、乙無法見面的時間，剩余的中間部分則表示甲、乙兩人可以見面的時間，計算出該部分所占正方形面積的比例，即求出兩人見面的概率。

上述案例中的概率題很難采用學習過的理論和公式求解，把題目中的已知條件在圖像中呈現出來，通過數形結合，學生可以簡潔、直觀地分析，將問題變得直白和簡單，還容易理解。

三、采用對立求解思想方法，快速解決概率問題

對立事件指的是：A和B的交集是不可能事件，A和B的并集則是必然事件，那么A事件和B事件就相互對立，是一組對立事件，即A事件和B事件必須且僅有一個發生，這同樣是一種典型的數學思想方法。在解答高中數學概率題時，遇到包含情況較多的求解類事件時，教師可以引導學生采用對立求解的數學思想方法。由于所有事件的總概率是1，那么用1減去對立事件的發生概率，就能夠求出題目中所要求的概率，從而快速解決問題。

例如：將一個骰子先后投擲兩次，那么出現點數之和小于12的概率是多少？解析：由于題目中是將骰子先后投擲兩次，表明每次投擲的結果不會受到外界因素的影響，而且每次投擲結果是1至6點的概率相同，都是1/6。求的是兩次投擲結果點數之和小于12的事件，可以把該事件設為A，那么兩次投擲結果點數之和大于等于12的事件就是A事件的對立事件，用B來表示，且B事件發生的概率為1減去A事件發生的概率。因為兩次投擲結果點數之和小于12出現的情況比較多，點數之和大于等于12的情況僅有一種，即為6、6。兩次投擲骰子出現點數一共有6×6＝36種情況，則P（B）＝，得出P（A）＝1-＝，也就是說出現點數之和小于12的概率是。

針對上述案例，當所求概率對立事件出現情況較少或容易表示時，可以使用對立求解的數學思想方法，先求出對立事件發生的概率，再求出正確答案，以此減少錯誤情況的出現。此時，數學思想方法不僅讓學生輕松解決了相應的問題，更讓學生增長了智慧與技能，促進學生綜合素養的提升。

高中數學中涉及的思想方法有很多，適用于概率題的也不少，教師在日常教學中，需刻意滲透各種數學思想方法，學生在解題中要善于總結和積累，根據具體題目選用相應的數學思想方法，不斷提升解題的針對性和效率。