跳頻信號2D-DOA高精度估計算法

胡政權(quán)，劉 毓，牛曉偉

(重慶三峽學院電子與信息工程學院，重慶 404100)

0 引言

跳頻通信因為其良好的抗干擾性能、較低的被截獲概率和較強的多址組網(wǎng)能力而被廣泛的應(yīng)用在軍事和民用通信領(lǐng)域。但是隨著通信電磁環(huán)境的日漸復雜，如何有效地進行跳頻通信的偵察與抗干擾也愈加困難[1-3]。跳頻信號的參數(shù)估計是通信對抗的基礎(chǔ)，是最重要的一環(huán)。

目前大多關(guān)于跳頻信號參數(shù)估計集中在跳頻信號的時域和頻域參數(shù)估計，較少的研究著眼于空域參數(shù)。信號的波達方向估計中基于子空間分解的多重信號分類算法和旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(Estimation of Signal Parameter via Rotation Invariance Technique, ESPRIT)被廣泛應(yīng)用[4]。文獻[5-6]提出一種空時頻分析和MUSIC算法相結(jié)合的跳頻信號一維波達方向估計算法，該算法簡單易于實現(xiàn)，但是低信噪比和小快拍數(shù)時算法性能下降嚴重。文獻[7]提出一種基于SCMUSIC&STFD算法的跳頻信號DOA估計算法，這種算法主要解決了MUSIC算法復雜度高的問題，但是沒有解決低信噪比下算法的估計精度問題。文獻[8]提出一種基于基于ESPRIT算法的跳頻信號DOA估計算法，大大降低了算法復雜度，但是這種算法對陣列要求較高，限制了算法應(yīng)用條件。文獻[5-8]所提算法僅局限于跳頻信號一維波達方向的估計，無法實現(xiàn)跳頻信號目標的三維定位。文獻[9-10]提出一種基于空間極化時頻分布的跳頻信號2D-DOA估計算法，該算法本質(zhì)上還是運用了ESPRIT算法來實現(xiàn)跳頻信號的二維波達方向的估計，算法的信噪比適應(yīng)能力較差。

目前現(xiàn)有關(guān)于跳頻信號二維波達方向估計研究中，存在低信噪比和小快拍數(shù)下算法性能下降嚴重問題。本文針對此問題提出一種基于二階偏導MUSIC跳頻信號2D-DOA高精度估計算法。該算法運用傳統(tǒng)MUSIC算法估計波達方向構(gòu)造的空間譜函數(shù)極大值點處存在方位角和俯仰角的二階偏導，并且二階偏導小于零的特性，通過對跳頻信號的方位角和俯仰角求二階偏導構(gòu)造新的MUSIC算法空間譜函數(shù)，將傳統(tǒng)極值譜峰搜索轉(zhuǎn)化為負向譜峰搜索。

1 跳頻信號陣列快拍模型與空間譜函數(shù)構(gòu)建

假設(shè)跳頻信號接收機在觀測時間ΔT和觀測頻段ΔW內(nèi)接收到的跳頻信號y(t)為：

(1)

式(1)中，sn(t)表示第n個跳頻信號；v(t)表示均值為零，方差為σ2的高斯白噪聲。

假設(shè)觀測時間內(nèi)有K個跳頻信號，第k(k=1,…,K)個完整跳的中心頻率為fnk，初相為φnk，最開始非完整跳的持續(xù)時間為Δtn0，中心頻率為fn0，初相為φn0，則sn(t)可表示為[11]：

(2)

式(2)中，an表示第n個跳頻信號的基帶復包絡(luò)；rect(t)表示單位矩形脈沖函數(shù)。

假設(shè)有N個遠場跳頻信號以二維方向角度(θk,φk)(θk和φk分別代表第k個跳頻信號的的方位角和俯仰角)入射到如圖1所示的M元雙均勻平行線陣上。其中，陣元間距為d1，兩個陣列的間距為d2，且滿足max(d1,d2)

圖1 信號入射示意Fig.1 Signal incident diagram

假設(shè)跳頻信號的波長為λ，則陣列1對入射信源S的導向矢量aS1(θ,φ)為：

aS1(θ,φ)=[1,e-j2πd1sinθcosφ/λ,…,
e-j2π(M-1)d1sinθcosφ/λ]T

(3)

陣列2與陣列1的導向矢量的差別是由兩個陣列之間的間距d2引起的，陣列2的導向矢量aS2(θ,φ)可以表示為：

aS2(θ,φ)=[1,e-j2π(d1sinθcosφ+d2sinθsinφ)/λ,…,
e-j2π[(M-1)d1sinθcosφ+d2sinθsinφ]/λ]T

(4)

因此，雙均勻線陣對入射信源S的導向矢量a(θ,φ)可以表示為：

(5)

根據(jù)式(5)可以得到陣列流型矩陣為：

A=[a1(θ,φ),a2(θ,φ),…,aN(θ,φ)]

(6)

假設(shè)雙均勻平行線陣接收到的信號矢量X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T，跳頻信號的信源矢量S(t)=[s1(t),s2(t),…sN(t)]T，陣列噪聲信號矢量S(t)=[s1(t),s2(t),…sN(t)]T，則跳頻信號的陣列快拍模型可以表示為：

X(t)=Y(t)+N(t)=AS(t)+N(t)

(7)

跳頻信號的載頻是隨機跳變的，如果直接采用平穩(wěn)信號協(xié)方差矩陣求解法會導致跳頻信號的流型矩陣也是隨機變化的。文獻[12]利用跳頻信號的時頻圖將跳頻信號分解為一個個獨立的跳，這樣可以將跳頻信號簡化為頻率固定的窄帶信號。跳頻信號x(t)的空時頻分布可以表示為：

(8)

式(8)中，[DXX(t,f)]ij=Dxixj(t,f) 為跳頻信號之間的互時頻分布。

因此，跳頻信號的時頻域協(xié)方差矩陣可以表示為：

E[DXX(t,f)]=E[DYY(t,f)]+E[DNN(t,f)]=
ADSS(t,f)AH+E[DNN(t,f)]

(9)

根據(jù)式(9)對跳頻信號的陣列協(xié)方差矩陣E[DXX(t,f)]進行特征值分解可得：

(10)

式(10)中，US為K個大特征值對應(yīng)的特征向量張成的信號子空間，UN為(NM-K)個小特征值對應(yīng)的特征向量張成的噪聲子空間，H為E[DXX(t,f)]特征值組成的對角矩陣。

根據(jù)正交子空間原理，由噪聲子空間UN構(gòu)造的MUSIC算法空間譜函數(shù)可以表示為：

(11)

根據(jù)式(11)進行譜峰搜索，譜峰位置對應(yīng)的(θ,φ)即為跳頻信號的二維入射角度。根據(jù)空間譜函數(shù)進行譜峰搜索想要獲得較高的估計精度，需要信噪比足夠高、快拍數(shù)足夠大、搜索精度足夠大。與此同時，快拍數(shù)的增加會大大增加算法的復雜度，而且實際應(yīng)用中的信噪比無法滿足MUSIC算法精確估計的標準。

2 基于二階偏導MUSIC估計2D-DOA

假設(shè)跳頻信號方位角θ的角度范圍為Rθ，譜峰搜索的步長為Δθ，則方位角的搜索次數(shù)L=Rθ/Δθ；俯仰角φ的角度范圍為Rφ，譜峰搜索的步長為Δφ，則方位角的搜索次數(shù)K=Rφ/Δφ。因此，空間譜函數(shù)P可以進一步表示為：

(12)

根據(jù)式(12)，將空間譜函數(shù)P簡化為：

(13)

根據(jù)式(13)可知，給定一個(i,j),i=1,2,…,L,j=1,2,…,K，都存在一個固定的數(shù)值pij與之對應(yīng)。假定方位角θ∈D1={θ1,θ2,…θL}，Δθ=θi+1-θi，φ∈D2={φ1,φ2,…φL}，Δφ=φj+1-φj，則pij可以進一步表示為：

pij=f(θi,φj)

(14)

(15)

式(15)中，∑(·)表示在θl點的鄰域內(nèi)求和。因為0≤|θi-θl|≤n,(n=1,2,…,L)，所以式(15)可以進一步表示為：

(16)

(17)

(18)

(19)

由于空間譜函數(shù)在極大值點的二階導數(shù)會在方位角和俯仰角的位置形成尖銳的負向譜峰，說明只有小于零的二階偏導值對DOA的計算是有用的，因此可以將二階偏導函數(shù)中大于零的數(shù)值去除。則式(17)和式(19)可以簡化為：

(20)

(21)

空間譜函數(shù)對方位角θ和俯仰角φ求二階偏導時是相互獨立的，因此可以定義新的空間譜函數(shù)的二階導數(shù)p″為：

(22)

根據(jù)式(22)進行負向譜峰搜索得到的負峰值點對應(yīng)的方位角和俯仰角即為跳頻信號的2D-DOA參數(shù)。根據(jù)式(22)進行負向譜峰搜索也相當于原空間譜函數(shù)進行極大值搜索，可以準確的得到跳頻信號的2D-DOA參數(shù)。

根據(jù)上述的理論推導，基于二階偏導MUSIC跳頻信號2D-DOA高精度估計算法的步驟可以歸納為：

步驟1 由陣列接收到的數(shù)據(jù)，根據(jù)式(7)構(gòu)建跳頻信號陣列的快拍矢量模型；

步驟2 根據(jù)式(10)對跳頻信號的協(xié)方差矩陣E[DXX(t,f)]進行特征值分解得到噪聲子空間UN；

步驟3 利用噪聲子空間，根據(jù)式(11)構(gòu)造跳頻信號2D-DOA估計的空間譜函數(shù)；

步驟5 根據(jù)式(22)得到跳頻信號2D-DOA估計的新的空間譜函數(shù)p″；

步驟6 利用p″進行負向譜峰搜索，得到的負峰值點即為跳頻信號的方位角和俯仰角參數(shù)。

3 仿真與分析

假設(shè)接收陣列的陣元間距d1=10 m，陣列間距d2=30 m；入射信號為3個跳周期均為10 μs的跳頻信號FH1、FH2、FH3，采樣率為100 MHz；其2D-DOA的方位角和俯仰角參數(shù)(θ,φ)分別為(23°,80°)，(39°,69°)，(42°,65°)。

本文的仿真結(jié)果均為200次蒙特卡洛實驗結(jié)果，用均方根誤差RMSE來衡量算法估計精度，定義跳頻信號方位角和俯仰角的RMSE為：

(23)

3.1 實驗1

仿真條件：陣列x軸方向和y軸方向的陣元數(shù)均為5個，每跳的快拍數(shù)均為2 000，信噪比從-5 dB以2 dB為步進遞增至15 dB。本文算法、MUSIC算法和SCMUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE曲線如圖2和圖3所示。

圖2 實驗1方位角RMSE曲線Fig.2 Azimuth RMSE curve of experiment 1

圖3 實驗1俯仰角RMSE曲線Fig.3 Pitching angle RMSE curve of experiment 1

從實驗1的仿真結(jié)果可以看出，隨著信噪比的增加，本文算法、傳統(tǒng)MUSIC算法和SCMUSIC算法的方位角和俯仰角的估計精度都逐漸增加；信噪比小于5 dB時，本文算法的方位角和俯仰角估計精度遠高于MUSIC算法和SCMUSIC算法，SCMUSIC算法的估計精度略低于MUSIC算法，但是隨著信噪比的增加三種算法的估計精度越來接近，信噪比達到9 dB左右時，三種算法的估計精度幾乎相同。

3.2 實驗2

仿真條件：陣列x軸方向和y軸方向的陣元數(shù)均為5個，信噪比為9 dB，每跳的快拍數(shù)從1 000以200為步進遞增到2 000。本文算法、MUSIC算法和SCMUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE曲線如圖4和圖5所示。

圖4 實驗2方位角RMSE曲線Fig.4 Azimuth RMSE curve of experiment 2

圖5 實驗2俯仰角RMSE曲線Fig.5 Pitching angle RMSE curve of experiment 2

從實驗2的仿真結(jié)果可以看出，隨著快拍數(shù)的增加，本文算法、MUSIC算法和SCMUSIC算法的方位角和俯仰角的估計均方根誤差都逐漸減小；快拍數(shù)小于2 200時，本文算法的估計精度要遠大于MUSIC算法和SCMUSIC算法，MUSIC算法的估計性能略高于SCMUSIC算法；快拍數(shù)大于2 200時，隨著快拍數(shù)的增加三種算法的估計性能逐漸接近。

3.3 實驗3

仿真條件：陣列x軸方向和y軸方向的陣元數(shù)均為5個，信噪比為9 dB。快拍數(shù)為1 000，1 400，1 800，2 200，2 600，3 000時本文算法、MUSIC算法和SCMUSIC算法的2D-DOA估計時間如表1所示(時間為200次蒙特卡洛實驗平均時間)。

表1 2D-DOA估計時間對比

從表1的實驗結(jié)果可以看出，不同的快拍數(shù)下，本文算法2D-DOA所需仿真時間略大于MUSIC算法，但是時間增加不顯著。SCMUSIC算法的計算時間約為本文算法和MUSIC算法的一半左右，造成這種現(xiàn)象的主要原因是，本文算法相比較MUSIC算法，雖然單次譜峰搜索的次數(shù)減少，但是需要兩次搜索；SCMUSIC只需要在半譜內(nèi)進行角度搜索。

4 總結(jié)

本文提出了一種基于二階偏導MUSIC跳頻信號2D-DOA高精度估計算法。該算法根據(jù)跳頻信號2D-DOA估計空間譜函數(shù)的特性，利用離散函數(shù)的二階偏導特性，重建新的空間譜函數(shù)，將原譜峰搜索轉(zhuǎn)化為負向譜峰搜索。理論分析仿真結(jié)果表明，所提算法相比較MUSIC算法在沒有顯著提高算法復雜度的條件下，提高了低信噪比和小快拍數(shù)下的估計精度；相比較SCMUSIC算法大大改善了在低信噪比和小快拍數(shù)條件下的估計性能。