基于Euler變換的非圓信號稀疏重構陣列測向方法

譚偉杰，馮西安，張肖璞

(西北工業大學航海學院，陜西 西安 710072)

0 引言

波達方位估計是陣列信號處理中的重要研究內容，已經廣泛應用于雷達、聲吶、通信、導航、射電天文、地震探測以及醫學等各個領域中[1]。而低信噪比，少快拍條件下的波達方位估計一直是陣列信號處理中的一個難點。傳統的信號處理算法大多只利用了信號的二階相關統計信息，而非圓信號處理算法則同時利用信號的二階相關和共軛相關統計信息，提高了信息利用率，所以利用信號的非圓特性來提高方位估計在該條件下的性能是一個有效的途徑。在水下通信中最常用的調制方式一般采用二進制移相鍵控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)[2]，該調制信號是一種典型的非圓信號，可以利用其橢圓協方差矩陣不為零的特征，增加接收矩陣數據維數，擴展陣列孔徑，從而提高估計精度和解決欠定條件下的估計問題。1998年，Galy首次提出將非圓信號特征與陣列信號處理相結合，提出了非圓MUSIC (Non-circular MUSIC，NC-MUSIC) 來估計非圓信號的目標方位，并詳細研究了非圓信號的特征[3]。2001年，Charge等人提出了非圓求根MUSIC (Non-Circular Root MUSIC, NC-Root-MUSIC)，用多項式求根代替NC-MUSIC中的譜峰搜索，大大降低了計算量[4-5]。2003年，Zoubir等人提出了非圓ESPRIT(Non-Circular ESPRIT， NC-ESPRIT)，在低信噪比情況下優于ESPRIT，并且能夠解決欠定條件下的目標方位估計問題[6]。2004年，Tayem等利用陣列接收信號及其部分共軛信息，構造出具有旋轉不變結構的兩個均勻線列陣，提出了共軛ESPRIT(Conjugate ESPRIT，C-ESPRIT)[7]。這些算法均是在復數域進行的，計算量較傳統子空間方法大。同年，Haardt等將空間平滑技術，將酉ESPRIT算法擴展到非圓信號的測向問題中，提出了非圓酉ESPRIT(Non-Circular Unitary ESPRIT， NC-U-ESPRIT)[8]。汪晉寬等人提出一種共軛酉ESPRIT (Conjugate Unitary ESPRIT，CU-ESPRIT)[9]，該方法構造了一個具有2M—1個陣元的虛擬陣列，提高了目標估計的個數。這些算法利用酉變換(Unitary Transformation)將復運算轉換為實運算，在提高分辨率的同時，來降低計算量。鄭春弟提出了應用Euler變換的實值MUSIC類和ESPRIT類非圓信號DOA估計算法[10-11]，這類算法利用了信號的非圓特性，通過歐拉變換構造出陣列接收數據的正弦部分和余弦部分，從而將復數運算轉換為實數運算，該方法利用非圓信號的特征將數據轉換為實數運算，使得計算量大為降低，并且通過數據拼接提高了虛擬孔徑，提升了估計性能。

基于非圓信號特征的子空間類方法，雖然利用了非圓信號的特征，擴展了陣列孔徑，但是在小快拍，低信噪比情況下性能大打折扣，尤其是在相干情況下，需要通過平滑處理來提高分辨性能，其代價是犧牲陣列孔徑。本文針對在小快拍，低信噪比情況下，基于非圓信號特征的子空間類方法分辨精度不高的問題，結合Euler變換與稀疏信號重構方法，提出了基于Euler變換的非圓信號稀疏重構陣列測向方法。

1 非圓信號陣列模型

考慮包含有M個陣元的均勻線性陣列。假設有K個窄帶目標信號分別從遠場θ1,θ2,…,θK方位照射到陣列。這里假定目標信號為非圓信號，信號可以是相關的，甚至是相干的。不同時間快拍的信號表示為sk(t)，t=1,2,…,T，k=1,2,…,K。那么該陣列接收的信號矢量可以表示為：

(1)

2 基于Euler變換的實值稀疏重構DOA算法

2.1 歐拉數據變換

傳統上的實值化通常采用Unitary變換[12]，該變換是將復數數據轉化為實數數據的一個重要方法。與之前不同，這里利用非圓信號的特點通過歐拉變換來將數據從復數數據轉化為實數數據，從而擴展陣列的虛擬孔徑。

xR=(x(t)+x*(t))/2

(2)

根據歐拉公式，這里不考慮信號附加相位的影響，那么第i個陣元上的接收信號可以表示為：

(3)

該式可以改寫為：

xR(t)=AR(θ)s(t)+nR(t)

(4)

式(4)中，

AR(θ)∈M×K,nR=Re(n)，Re(·)表示取實部。

進一步可以得到

xI(t)=(x(t)-x*(t))/2j

(5)

同理，

(6)

該式可以寫為：

xI(t)=AI(θ)s(t)+nI(t)

(7)

式(7)中，

AI(θ)∈M×K,nI=Im(n)，Im(·)表示取實部。

令，

(8)

式(8)中，Areal(θ)∈2M×K，AR(θ)∈M×K，AI(θ)∈M×K，nR∈M×1，nI∈M×1。

可以看出，利用非圓信號的特點后，通過歐拉公式得到一個新的維數為2M×1的等價陣列，相當于擴展了陣列孔徑。此時數據轉化為實數運算，已有的方法是在此基礎上基于子空間類的方法，如Euler MUSIC、Euler ESPRIT，雖然也利用了非圓特性，但不能直接處理相干信號，這里采用稀疏表示的方法來求解，可以在小快拍、低信噪比下以及相干源情況下得到更好的分辨效果。考慮到多個時間快拍，公式(8)表示為矩陣形式：

Xr=ArealS+Nr

其中，Xr=[xreal(1),…,xreal(T)]，S,Nr采用和Xr同樣的構造方式。

2.2 基于實值稀疏信號重構的DOA估計

定義一個過完備的導向矢量字典

Φ=[a(θ1),a(θ2),…,a(θQ)]∈C2M×Q

(9)

其中，areal(θl)=[1,cos(2πd2/λsin(θl)),…,cos(2πdM/λsin(θl)),0,sin(2πd2/λsin(θl)),…,sin(2πdM/λsin(θl))]是所有可能出現目標的方向陣列流行向量。Areal?Φ，Q為離散化的網格數，Q?max(M,K)。基于這種定義，Φ是被預先確定并不依賴于真實方位的過完備陣列流行矩陣。假設真實目標的方位(θ1，θ2，…，θk)都包含于(或者非常接近于)過完備詞典(θ1,θ2,…,θQ)中，式(8)的陣列信號處理模型可以改寫為:

xreal(t)=Φs(t)+n(t)

(10)

式(10)中，s(t)=[s1(t),…,sQ(t)]T∈CQ×1是陣列接收到的信號的擴展，只有當θq=θk時，sq(t)=sk(t)，其他情況下sq(t)均為0。由此可見，式(10)的信號模型是稀疏的，此時目標的方位估計就轉變為對s(t)的非零位置估計的問題。式(10)是一個典型欠定線性方程，恢復s(t)是一個典型的稀疏信號重構問題。由Donoho等的壓縮感知理論，在無噪聲情況及Φ滿足一定條件下，s(t)可以通過l0范數最小化完全重構：

(11)

在有噪聲情況下，s(t)可以通過l0范數最小化完全重構：

(12)

但是上式是一個NP難問題，是非凸的，現有的優化算法很難有效求解。可以通過松弛條件將采用l1范數來逼近l0范數，此時問題轉化為：

(13)

式(13)中，ε是與噪聲水平相關的參數。該問題可以采用內點法來求解。但是當快拍數很大時，求解上述問題的計算維度將大大增加，為了降低運算復雜度，減小計算量，采用奇異值分解來降低數據處理維度。

2.3 基于奇異值分解的實值稀疏信號重構DOA估計

對Xr進行奇異值分解[13]

(14)

這里Us∈C2M×K，Vs∈CN×K對應K個最大奇異值對應的奇異值特征向量，為得出維度減低的2M×K維信號空間，引入了新的矩陣

(15)

式(15)中，SSV=SVs，NSV=NrVs。

(16)

(17)

3 仿真與分析

本節對提出的基于Euler變換的非圓信號稀疏重構陣列測向方法進行數值仿真。在非相干非圓信號和相干非圓信號情況下，將本文提出的方法和MUSIC、NC-MUSIC方法測向性能進行比較。

仿真中，陣列是陣元數目為8，陣元間距為半波長的均勻線列陣。目標的信號波形為非圓信號，采用BPSK 調制信號，噪聲為加性高斯白噪聲。

實驗1 非相干源下的測向能力比較

兩個非相干目標源的方位為 [-2°,2°]，信噪比為0 dB，快拍數為20。圖1 是在信噪比為0 dB情況下稀疏重構方法以及MUSIC 和NC-MUSIC方法的空間譜圖。圖2是信噪比從-10 dB到25 dB變化時，RMSE與信噪比關系曲線，每個曲線通過200次蒙特卡洛實驗得到。

圖1 非相干目標的鄰近目標歸一化空間譜比較Fig.1 Comparison of normalized spatial spectra of uncorrelated closely targets

圖2 非相干目標條件下RMSE與SNR的關系曲線Fig.2 RMSE versus SNR for uncorrelated targets

由圖1可知，采用稀疏重構的方法可以在低信噪比條件下分辨空間相近目標，而傳統的MUSIC方法和NC-MUSIC方法在低信噪比條件下不具有分辨近空間目標的能力，主要原因在于一方面是非圓特性的利用提高了陣列孔徑，稀疏重構方法能夠在測量數較少的情況下獲得較好的信號重構，從而獲得較好的目標測向性能。由圖2可以看出，在低信噪比情況下，基于歐拉變換的稀疏重構方位估計方法的最小均方誤差遠遠小于傳統的NC-MUSIC和MUSIC，表明了其在低信噪比、小快拍條件下的優越性。

實驗2 非相干源下的測向能力比較

兩個相干目標源的方位為 [-4°,4°]，信噪比為0 dB，快拍數為20。圖3是在信噪比為0 dB情況下稀疏重構方法以及MUSIC 和NC-MUSIC方法的空間譜圖。圖4是信噪比從-10 dB到25 dB變化時，每個信噪比做200次蒙特卡洛實驗得到的最小均方誤差和信噪比的關系圖。

由圖3可知，采用稀疏重構的方法可以在低信噪比條件下分辨相干非圓信號近空間目標，而傳統的MUSIC方法和NC-MUSIC方法不具有在相干條件下的分辨目標的能力，其原因在于子空間類方法需要利用協方差矩陣，目標的相干性使得協方差矩陣降秩，無法直接區分出信號子空間和噪聲子空間，必須使用空間平滑預處理才能分辨出信號。由圖4可以看出，基于歐拉變換的稀疏DOA估計方法隨著信噪比的增加均方根誤差逐漸減小，其具有相干信號分辨的能力。

實驗3 欠定條件下的目標方位估計性能

考慮陣元數目為4，5個相干非圓信號，目標的方位分別為[-40°,-20°,0°,20°,40°]，信噪比為0 dB，快拍數為20，驗證所提方法在欠定條件下目標方位估計的性能。 圖5比較了在相干非圓信號情況下所提方法和NC-MUSIC方法的空間譜。

圖3 鄰近相干目標的歸一化空間譜比較Fig.3 Comparison of normalized spatial spectra of coherent closely targets

圖4 相干目標條件下RMSE與SNR的關系曲線Fig.4 RMSE versus SNR for coherent targets

圖5 欠定條件下多個非圓目標的不同方法歸一化功率譜比較Fig.5 Comparison of normalized spatial spectra of multiple coherent closely targets

由圖5可以看出，在非圓信號目標個數大于陣元個數的情況下，NC-MUSIC和本文提出的方法都能分辨出目標，但是本文提出的方法譜線峰值更明顯，具有更高的分辨能力，性能更優，說明其在欠定條件下具有高分辨性能。

4 結論

本文提出了基于Euler變換的非圓信號稀疏重構陣列測向方法。該方法利用非圓信號的特征，采用Euler變換將復數據轉化為實數據，通過數據拼接來擴展陣列孔徑，采用奇異值分解來降低數據維度，利用目標方位信息的空域稀疏性，通過離散化空間方位網格來構建實數域的空域字典集，將目標方位估計問題轉換為一稀疏信號重構問題，最終通過實值稀疏信號重構方法來估計目標方位。 數值仿真驗證表明，在低信噪比以及少快拍情況下，無論是對于非相干信號或者相干信號，與傳統方法相比，所提方法皆表現出良好的估計精度，且該方法可以應用于欠定情況下非圓信號的目標方位估計。該方法的不足之處是所提方法是在精確補償傳輸延遲而產生的復相移的前提下，下一步將考慮聯合估計復相移和目標方位。