三角恒等變換學法直通車

■王佩其

解三角函數問題往往離不開三角恒等變換，離開了三角恒等變換去解三角函數問題，可謂“天方夜譚”。那么三角恒等變換有哪些變換方法?主要涉及哪些題型?

三角恒等變換，實際上是對三角函數式中的角、名、形的變換，其主要有三種變換方法：①找差異，即找角、名、形的差異；②建立聯系，即建立角的和差關系、倍半關系，名形之間與公式的聯系；③變公式，即公式的正用，逆用和變形應用。

三角恒等變換主要涉及三類問題：①三角函數的化簡；②三角函數的求值；③三角恒等式的證明。下面分類舉例分析。

一、給角求值問題

例1求值

解：原式

評注：對于非特殊角的三角函數的求值問題，一定要本著先整體后局部的原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進行局部的變形。

二、給值求值問題

例2設α為銳角，若則的值為____。

解：因為α為銳角且，所以

評注：解答此類問題，一定要注意已知角與所求角之間的關系，恰當地運用拆角、拼角技巧，利用角的變換，達到求值的目的。

三、給值求角問題

例3已知，且求β的值。

解：由，且cos（α-β）=可得

于是可得cos 2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（αβ）=-1。

評注：已知三角函數值求角的解題步驟：①確定角的范圍，根據條件確定所求角的范圍；②求所求角的某種三角函數值，為防止增解最好選取在上述范圍內單調的三角函數；③結合三角函數的值及角的范圍求角。

四、三角恒等式的證明問題

例4已知sin（2α+β）=5 sinβ，求證：2 tan（α+β）=3 tanα。

證明：由2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α，可得sin（2α+β）=5 sinβ?sin[（α+β）+α]=5 sin[（α+β）-α]?sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=5 sin（α+β）cosα-5 cos（α+β）sinα?2 sin（α+β）cosα=3 cos（α+β）·sinα?2 tan（α+β）=3 tanα。

故2 tan（α+β）=3 tanα成立。

評注：三角恒等式證明的常用方法：①執因索果法，即證明的形式一般為化繁為簡；②左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子；③拼湊法，即針對題設和結論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，化異求同。

五、高考中的三角恒等變換問題

例5已知

解：（1）f（x）=sinx+

評注：在高考中，這類問題重點考查三角恒等變換與公式的綜合應用。解答本題的關鍵是利用三角恒等變換將函數f（x）化成y=Asin（ω x+φ）+B的形式。

例6已知函數f（x）=（sinx+cosx）2+cos 2x。

（1）求函數f（x）的最小正周期。

（2）求函數f（x）在區間上的最大值和最小值。

解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+2 sinx·cosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=

故函數f（x）的最小正周期

由正弦函數y=sinx圖像與性質可知：

故函數f（x）在上的最大值為最小值為0。

評注：在高考中，有關三角函數的圖像與性質（如周期性，單調性，對稱性，最值）問題，幾乎年年都考，這類問題難度不大，但離不開三角恒等變換。